Zagadka o błędzie względnym: rozwiązanie

https://xpil.eu/5vj

Niedawno postawiona zagadka o minimalizacji błędu względnego spotkała się z umiarkowanym zainteresowaniem Czytelników blogu.

Nic nie szkodzi. Gdyby wszyscy interesowali się tym samym, świat byłby strasznie nudny.

Dziś rozwiązanie oraz analiza zagadnienia w przypadku ogólnym. Jak już wcześniej nadmieniłem, zadanko jest trywialne.

Największy możliwy błąd wystąpi w przypadkach skrajnych: jeżeli wylosowana zostanie jedna z liczb krańcowych przedziału, czyli 30 albo 42.

A jeżeli tak, to należy znaleźć takie x między 30 a 42, dla którego wartość błędu względnego będzie identyczna w tych dwóch skrajnych przypadkach. Jeżeli bowiem wybierzemy x inne, wówczas jeden z przypadków skrajnych da w wyniku większy błąd, a tego chcemy uniknąć.

Jeżeli wylosowano 42, wówczas błąd względny wyniesie:

\(\frac{42-x}{42}\)

 

Z kolei jeżeli wylosowano 30, wówczas błąd ów wyniesie:

\(\frac{x-30}{30}\)

 

Równanie nasze wygląda więc następująco:

\(\frac{42-x}{42} = \frac{x-30}{30}\)

 

Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy:

\(x=35\)

 

I to jest poprawna odpowiedź. Błąd względny w tym przypadku wyniesie 0.1(6) i to jest "gwarantowane najmniejsze maksimum".

A w przypadku ogólnym?

Jeżeli krańce przedziału, z którego losowane są liczby, oznaczymy odpowiednio a i b, wówczas powyższe równanie wygląda tak:

\(\frac{b-x}{b} = \frac{x-a}{a}\)

 

Rozwiązujemy dla x:

\(x=\frac{2ab}{a+b}\)

 

Jak widać minimalizacja maksymalnego błędu względnego w ogólnym przypadku daje w wyniku... średnią harmoniczną krańców przedziału.

O średnich już kiedyś pisałem:

Średnio

AGM

Nudne, prawda?

https://xpil.eu/5vj

5 komentarzy

  1. Bardzo fajna zagadka. Myślałem o niej na nudnej prelekcji, ale pogubiłem się, pomieszał mi się błąd średni (który próbowałem zminimalizować różniczką) z błędem maksymalnym. Rozwiązanie bardzo eleganckie. Jeszcze trochę sobie policzę i być może się tutaj odezwę.

    1. Dobra, przeżułem na spacerze i mam problem z obiema Twoimi przesłankami.

      1. „Największy możliwy błąd wystąpi w przypadkach skrajnych: jeżeli wylosowana zostanie jedna z liczb krańcowych przedziału, czyli 30 albo 42.”

      Nie jestem przekonany tak od razu. Mianownik komplikuje sytuację. Błąd bezwzględny wynosi |x – y| / y, gdzie x to liczba wybrana, a y to liczba wylosowana. Skąd widać, że największy błąd jest przy wartościach skrajnych? Bo różniczka mi tutaj coś nie działa…

      2. „A jeżeli tak, to należy znaleźć takie x między 30 a 42, dla którego wartość błędu względnego będzie identyczna w tych dwóch skrajnych przypadkach. Jeżeli bowiem wybierzemy x inne, wówczas jeden z przypadków skrajnych da w wyniku większy błąd, a tego chcemy uniknąć.”

      Hm, też tego nie widzę. Przecież możliwa jest hipotetyczna sytuacja, w której chociaż przypadki skrajne są nierówne, to największy z nich jest mniejszy od wartości, gdy oba są równe.

  2. Omyłkowo utrudniłem sobie zadanie błędnie odczytując, że chodzi o minimalizację oczekiwanego (średniego) błędu względnego.
    Dlatego rozwiązanie odłożyłem na później. Udało się, musiałem przypomnieć sobie te wszystkie całki i pochodne, ale udało się 🙂 Dysponuję rozwiązaniem jeśli trzeba, wyszło ~35.4965
    Dzięki dla autora za wyzwanie.

Leave a Comment

Komentarze mile widziane.

Jeżeli chcesz do komentarza wstawić kod, użyj składni:
[code]
tutaj wstaw swój kod
[/code]

Jeżeli zrobisz literówkę lub zmienisz zdanie, możesz edytować komentarz po jego zatwierdzeniu.