Zero do zerowej

https://xpil.eu/omDHp 📋

Zastanawiałeś się kiedyś (bądź też, jeżeli jesteś samiczką, zastanawiałaś), ile to jest zero podniesione do zerowej potęgi?

Prawdopodobnie nie. Ludzie rzadko zastanawiają się nad takimi głupotami.

Pech jednak chciał, że właśnie czytasz ten wpis. I właśnie zaczynasz kombinować: hmmm, ile to właściwie jest...

No bo tak: uczyli nas w szkołach, że cokolwiek podniesione do zerowej potęgi daje w wyniku jedynkę, prawda?

Czyli odpowiedź brzmi: jeden.

Ale chwilę potem przyłazi złośliwa Druga Myśl, która mówi: zaraz, sekunda, przecież zero podniesione do jakiejkolwiek potęgi daje w wyniku zero! A więc zero do zerowej to zero a nie żadne jeden!

Spróbujmy więc ugryźć zagadnienie w sposób bardziej formalny:

\(x^{0} = x^{1-1} = x^{1} x^{-1} = \frac{x}{x} = 1\)

Teraz wystarczy podstawić x = 0 i po sprawie. Udowodniliśmy, że \(0^{0} = 1\)

Czy aby na pewno? Przecież podstawiając x = 0 otrzymujemy \(\frac{0}{0}\), czyli do dupy. Przez zero się nie dzieli.

No to inaczej:

\(0^{x} = 0^{1+x-1} = 0^{1} \times 0^{x-1} = 0 \times 0^{x-1}= 0\)

Skoro zero przemnożone przez cokolwiek daje zero, wychodzi na to, że \(0^{0} = 1\).

Ale, zaraz, chwila. \(0^{x-1}\) to nic innego jak \(\frac{1}{0}\). A więc znów dupa, bo dzielić przez zero nie wolno.

Spróbujmy więc potraktować zagadnienie limesami. Sprawdźmy, do czego dąży wyrażenie \(x^{x}\) przy x dążącym do zera:

\(\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \exp(\log(x^{x})) = \lim_{x \to 0^{+}} \exp(x \log(x)) = \exp( \lim_{x \to 0^{+} } x \log(x) ) = \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{\log(x)}{ x^{-1} } ) = \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{ \frac{d}{dx} \log(x) }{ \frac{d}{dx} x^{-1} } ) = \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{x^{-1}}{- x^{-2}} ) = \exp( \lim_{x \to 0^{+} } -x ) = \exp( 0) = 1\)

Jak nic, wychodzi, że do jedynki. Czyżby więc problem był rozwiązany?

Ano, niekoniecznie. To, że jakieś wyrażenie dąży w jakimś punkcie do jakiejś wartości X nie oznacza od razu, że wartość tego wyrażenia w tym punkcie jest równa X. Zresztą, żeby było zabawniej, jeżeli już mamy szafować limesami, to przecież oczywistym jest, że \(\lim_{y \to 0} y^{0} = 1\) (no bo cokolwiek niezerowego podniesione do potęgi zerowej daje jedynkę).

Tym samym, wyznaczenie granicy funkcji \(f(x,y) = y^{x}\) przy x dążącym do zera daje inny wynik, niż wyznaczenie tej samej granicy przy y dążącym do zera.

Tak więc w punkcie x=0, y=0 mamy nieciągłość funkcji. Funkcja nie przybiera tam żadnej konkretnej wartości.

No i co z tym fantem zrobić?

Okazuje się, rozwiązanie jest bardzo proste. Skoro rozumowanie logiczne prowadzi do różnych wyników w zależności od przyjętej metody, trzeba sprawę rozwiązać proceduralnie. A więc zdefiniować, że \(0^{0} = 1\) - i po kłopocie.

A dlaczego akurat jedynka, a nie na ten przykład siódemka? Albo zero?

Otóż dlatego, że przyjęcie \(0^{0} = 1\) skutkuje bardziej eleganckimi i zwartymi zapisami przy innych, powiązanych obliczeniach. Weźmy dla przykładu dwumian Newtona:

\((x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k\)

Zakładając, że \(x = 0\) oraz \(y \ne 0\) dostajemy (po czterech prostych przekształceniach):

\(y^{n} = 0^{0}y^{n}\)

Gdybyśmy za \(0^{0}\) podstawili cokolwiek innego niż jedynkę, trzeba by było dwumian Newtona zapisać w zupełnie innej postaci, uwzględniając przypadek szczególny. A tak, proszę bardzo, działa z marszu.

Przykładów, w których przyjęcie, że \(0^{0} = 1\) prowadzi do prostszego i bardziej eleganckiego wnioskowania, jest więcej. Wszystkie pokazują, że takie założenie nie jest prawdziwe (ani też fałszywe, ha!), tylko po prostu wygodne.

Ot, co.

P.S. Dzisiejszy wpis jest luźnym tłumaczeniem tego artykułu. Całkiem fajnie napisane, prawda?

https://xpil.eu/omDHp 📋