"Oho, zaczyna się."
Tak zapewne pomyśli każdy z trzech moich Czytelników. Liczba w tytule wpisu świadczy niezbicie o tym, że wpis będzie albo nudny, albo techniczny, a najpewniej jedno i drugie.
Rację ma ów Czytelnik. Dziś bowiem o liczbach będzie. Żeby trochę porozciągać aksony, będzie o dość interesującej, acz kompletnie z praktycznego punktu widzenia bezużytecznej hipotezie matematycznej, którą w okolicach 1995 roku postawił jakiś matematyk - hobbysta. Hipoteza owa mówi, że sekwencja Recamána zawiera wszystkie liczby całkowite dodatnie.
Zaraz, zaraz, że co? Jaka sekwencja?
Ano właśnie. Sekwencja Recamána to dość interesujący ciąg liczb całkowitych, zdefiniowany w następujący sposób:
a(0)=0, a(n)=a(n-1)-n albo a(n)=a(n-1)+n.
A czemu "albo"?
A temu, że najpierw próbujemy wyliczyć a(n) jako a(n-1)-n, ale jeżeli w wyniku dostaniemy liczbę ujemną lub liczbę, która już istnieje w poprzednich elementach sekwencji, wybieramy drugą opcję i wyliczamy a(n) jako a(n-1)+n.
Zamiast pitolić jakimiś formułami, zobaczmy jak to wygląda w praktyce:
Zaczynamy od zera: 0. To jest element zerowy naszego ciągu (n=0)
Element pierwszy (n=1) wyliczamy jako element zerowy minus jeden. Niestety, w wyniku dostajemy liczbę ujemną (-1), a więc odrzucamy ten wynik i zamiast niego wyliczamy pierwszy element ciągu jako 0+1=1. Czyli a(1)=1.
Wyliczamy element drugi (n=2): poprzedni element to jedynka, jeden minus dwa jest ujemne, odpada, robimy jeden plus dwa, czyli trzy. A więc a(2)=3
Lecimy dalej. Trzeci element (n=3) to element drugi zmniejszony o trójkę. Trzy minus trzy daje zero. Zero nie jest ujemne, więc mogłoby być, ale niestety też odpada, bo zero już mamy na liście (element zerowy). Dlatego znów musimy dodać n zamiast odejmować. 3+3=6, a więc a(3)=6.
Sprawy ulegają zmianie przy elemencie czwartym (n=4). Tutaj bowiem mamy 6-4=2, dwójka nie występuje wśród poprzednich wyrazów ciągu jak również jest dodatnia. A więc a(4)=2.
Jak na razie mamy następujące elementy ciągu: 0,1,3,6,2. Postępując dalej według tego algorytmu, wyliczymy kolejne elementy ciągu jako 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43 i tak dalej.
Jak być może uważny Czytelnik zauważył, w powyższej sekwencji liczby czasem się powtarzają. Na przykład 42, albo 43. Nie ma tu żadnego błędu, bowiem sekwencja Recamána nie gwarantuje unikalności elementów. Gwarantuje natomiast brak zapętleń, ponieważ odejmowane (bądź dodawane) liczby są coraz większe. Proszę też zauważyć, że różnica między dowolnym elementem, a elementem go poprzedzającym, wynosi zawsze tyle, co numer kolejny tego elementu.
No i teraz docieramy do sedna. Jakiś hobbysta-matematysta (nie jestem pewien kto nawiasem mówiąc) postawił hipotezę, że każda liczba całkowita dodatnia prędzej czy później pojawi się w sekwencji Recamána. Hipotezy tej nie udało się udowodnić (ani obalić) żadnymi metodami formalnymi - wzięto się więc za symulacje. Okazało się, że jest taka liczba całkowita, która - choć stosunkowo nieduża - nie pojawia się w rozwinięciu ciągu Recamána aż do liczb o siedemdziesięciu trzech cyfrach...
(chwila zadumy)
...czyli aż do undecylionów. Liczbą tą jest właśnie tytułowe 852655.
A więc jeżeli kiedykolwiek będziesz chciał, znużony Czytelniku, powyliczać sobie elementy sekwencji Recamána, nie licz na to, że dojdziesz do 852655.
Co to, to nie.
aha
Dobry wieczór. Debiutuję tu w gościach.
Na początku zadziwił mnie ten warunek braku powtarzania wyrazów przy odejmowaniu (bo i tak pętla by nie groziła). Przestałem go uważać za dziwaczny gdy sprawdziłem jak nudny byłby ciąg bez tego warunku.
A zatem, przed wysłaniem tego komentarza i następnie dodaniem Pańskiego bloga do czytnika RSS, zauważę jeszcze tylko, że obliczenia dojechały nawet i do duodecylionów.
Pozdrawiam z Poznania.
O kurczę, pierwszy Czytelnik, który jawnie przyznaje się do zainteresowań matematycznych. Witam w moich skromnych progach 😉