Numerki

Nie rozumiem całkiem jak można nie zachwycać się faktem, że 555 x 666 = 369630

Fascynuje mnie również fakt, że 50% ludzkości nie zdaje sobie sprawy z tego, że stanowi połowę społeczeństwa…

Różne perełki liczbowe bawią mnie od zawsze. Nie zaśmiecam sobie głowy żadną religią, polityką ani sportem, za to mam tam w środku wieeeelki śmietnik numeryczny 😉

Oto kilka rzeczy, które mnie od zawsze fascynowały:

1. Liczby doskonałe.

To takie liczby naturalne, które są sumą swoich własnych podzielników (bez nich samych rzecz jasna). Przykłady:

6: dzieli się przez 1, 2 i 3, 1+2+3 = 6

42: dzieli się przez 1, 2, 7, 14 i 21, 1+2+7+14+21 = 42

i tak dalej

Udowodniono, że jeżeli N jest liczbą pierwszą, oraz \(2^{N-1}\) jest liczbą pierwszą, wówczas \((2^N-1) (2^{N-1})\) jest liczbą doskonałą.

Kolejna ciekawostka, żadna liczba doskonała nie jest liczbą trapezoidalną (czyli różnicą dwóch niekolejnych liczb trójkątnych).

Żadna liczba doskonała nie dzieli się przez 105.

Wreszcie, nie udało się jeszcze udowodnić hipotezy, że nie istnieją liczby doskonałe nieparzyste – aczkolwiek wiadomo, że jeżeli istnieją, są na pewno większe niż \(10^{1500}\) (jedynka z półtora tysiącem zer)

2. Nieskończona ilość liczb pierwszych.

Liczby pierwsze to takie liczby naturalne, które dzielą się bez reszty wyłącznie przez jeden i przez siebie. Przykłady: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 32416190071.

Liczby pierwsze są bardzo ważne w kryptologii, jednak ja dziś nie o tym.

Czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele?

Otóż – tak. Jest na to kilka dowodów o różnym stopniu komplikacji, poniżej przedstawiam swój ulubiony:

Dowód nie wprost.

Teza: Istnieje największa liczba pierwsza (logiczne, skoro liczb pierwszych jest skończona ilość, któraś musi być największa). Nazwijmy ją N.

Lemat: Iloczyn dowolnej ilości różnych liczb pierwszych, zwiększony o jedynkę, nie dzieli się przez żadną z mnożonych liczb. Przykład: 2×3+1=7, 7 nie dzieli się ani przez 2 ani przez 3. Inny przykład: 3x5x7+1=106, 106 nie dzieli się przez 3, 5, ani 7.

Dowód lematu: a poguglaj sobie.

Czyli, skoro ten iloczyn nie dzieli się przez żadną z mnożonych liczb, to albo sam jest liczbą pierwszą (7 w przykładzie powyżej), albo jest liczbą złożoną, mającą podzielniki pierwsze inne niż liczby biorące udział w mnożeniu (106 powyżej dzieli się przez 2 i przez 53, obydwie są liczbami pierwszymi, ale nie brały udziału w mnożeniu).

Zgoda?

Zgoda! Jedziemy dalej: skoro istnieje największa liczba pierwsza N, weźmy wszystkie liczby pierwsze mniejsze bądź równe N i przemnóżmy je przez siebie, a następnie do wyniku mnożenia dodajmy jedynkę. W wyniku otrzymamy liczbę X, która 1. na pewno nie dzieli się przez żadną liczbę spośród tych mnożonych oraz 2. jest albo pierwsza, albo ma podzielniki pierwsze spoza zbioru liczb biorących udział w mnożeniu. Oczywistym jest również, że X > N. Stąd widać od razu, że albo X albo któryś z jej podzielników jest liczbą pierwszą większą od N, co przeczy tezie. Czyli, nie ma największej liczby pierwszej. Liczb pierwszych jest więc nieskończenie wiele.

3. Zbiory gęste.

Zbiór gęsty to taki zbiór, w którym między dwoma dowolnymi (różnymi) elementami znajduje się co najmniej jeden element z tego samego zbioru. Przykład: liczby rzeczywiste. Między dwiema dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nieważne jak blisko siebie się one znajdują, zawsze znajdzie się przynajmniej jedna (a de facto nieskończnie wiele) liczba rzeczywista.

Co w tym ciekawego? No, na razie nic. Ale teraz zagadka: czy istnieją takie dwa zbiory liczb A i B, które są gęste, rozłączne (a więc żaden element ze zbioru A nie należy do zbioru B i vice versa), a jednocześnie mają tę właściwość, że między dowolnymi dwoma różnymi elementami zbioru A znajduje się co najmniej jeden element zbioru B i vice versa?

Na pozór – niemożliwe. A jednak: A jest zbiorem liczb wymiernych, a B – niewymiernych. Bingo…

4. Zagadka z homeomorficzności.

Otoczeniem figury nazywamy zbiór wszystkich elementów przestrzeni nienależących do tej figury. Innymi słowy, otoczeniem kwadratu jest cała płaszczyzna z „dziurą” w miejscu tego kwadratu, otoczeniem punktu jednowymiarowego są dwie półproste otwarte a otoczeniem stożka jest cała przestrzeń z wyciętą „dziurą” w miejscu tego stożka.

Dodajmy jeszcze pojęcie homeomorficzności: dwie figury są homeomorficzne, jeżeli da się przekształcić jedną w drugą bez rozrywania ani sklejania. Na przykład, kula jest homeomorficzna z walcem, trójkąt z kołem a okrąg z brzegiem kwadratu.

No i teraz zagadka: czy istnieje bryła, która jest homeomorficzna z kulą, ale której otoczenie nie jest homeomorficzne z otoczeniem kuli?

Z pozoru odpowiedź wydaje się prosta: nie ma, no przecież się nie da.

A tymczasem jest: rogata sfera Alexandera. Ha!

5. Liczb całkowitych jest tyle samo co liczb naturalnych.

Tak! Wydawać by się mogło, że liczb całkowitych jest dwa razy więcej niż liczb naturalnych (przecież naturalne są podzbiorem całkowitych, a do tego dochodzą jeszcze wszystkie całkowite ujemne). A jednak jest ich dokładnie tyle samo.

Udowodnimy to po hotelarsku.

Niech będzie hotel z nieskończoną ilością pokoi, ponumerowanych za pomocą wszystkich liczb naturalnych. 1, 2, 3, 4… i tak dalej aż do nieskończoności. Niech w każdym pokoju mieszka dokładnie jedna liczba naturalna, taka sama jak numer pokoju. I teraz do hotelu przyjeżdża wycieczka liczb całkowitych ujemnych (-1,-2,-3…) i trzeba je jakoś ulokować. Co się więc robi? Ano, przeprowadza się wszystkie obecnie mieszkające liczby naturalne n do pokojów 2n (czyli, jedynkę do dwójki, dwójkę do czwórki, trójkę do szóstki, czwórkę do ósemki i tak dalej aż do nieskończoności). W ten sposób zwalniają się wszystkie pokoje o numerach nieparzystych, do których mogą się teraz spokojnie wprowadzić nasi ujemni goście. Czy zwiększyliśmy ilość pokojów w hotelu? Nie! Czyli zbiory te są równoliczne. (Co z zerem, zapytacie? A cholera wie, siedzi na siłowni albo dorabia na recepcji…)

6. 142857
Liczba ta ma ciekawą właściwość:

1 x 142857 = 142857
2 x 142857 = 285714
3 x 142857 = 428571
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142

Ech, a to dopiero wierzchołek góry lodowej. O liczbach mogę dłuuugo 😉

Dobranoc!

Autor: xpil

Po czterdziestce. Żonaty. Dzieciaty. Komputerowiec. Krwiodawca. Emigrant. Rusofil. Lemofil. Sarkastyczny. Uparty. Mól książkowy. Ateista. Apolityczny. Nie oglądam TV. Uwielbiam matematykę. Walę prosto z mostu. Gram na paru instrumentach. Lubię planszówki. Słucham bluesa, poezji śpiewanej i kapel a'capella. || Kliknij tutaj po więcej szczegółów ||

Dodaj komentarz

2 komentarzy do "Numerki"

Powiadom o
avatar
Sortuj wg:   najnowszy | najstarszy | oceniany
lacki
Gość

hmm nie skumałem tematu nr 5. Przecież do hotelu przyszła tylko połowa liczb całkowitych (a skoro ujemne to można nawet rzec, że mniejsza połowa).

wpDiscuz