Bliźniacze pierwszaki

In Jestem, więc myślę by xpil0 Comments

Nie dalej niż kilka dni temu opisałem prościutką zagadkę o liczbach pierwszych bliźniaczych (do poczytania tutaj), a już dziś rano czytam na kilku różnych blogach o powiązanym z liczbami bliźniaczymi odkryciu, które wstrząsnęło światem matematycznym.

Ale może zacznę od początku.

Otóż hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych (postawiona po raz pierwszy ponad 2000 lat temu przez Euklidesa) mówi, że jest nieskończenie wiele par liczb pierwszych różniących się o 2.

Jest to jedna z tych hipotez, których sformułowanie jest trywialne, a na których różni geniusze łamią sobie zęby od setek lat (a w przypadku tej konkretnej hipotezy nawet od tysięcy) bez większych sukcesów.

Do dziś nie udało się wykazać, że liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele.

Liczby pierwsze mają tę cechę, że wraz z wędrówką wzdłuż dodatniej osi liczbowej pojawiają się coraz rzadziej. W pierwszej dziesiątce liczb pierwszych jest 40%, ale już wśród liczb naturalnych mniejszych niż \(10^{1000}\) jest to mniej niż pół promila. I tak dalej.

Największa znana obecnie para liczb bliźniaczych to \(3756801695685 * 2^{666669} \pm 1\).

Istnieje nieco silniejsza (bardziej ogólna) hipoteza mówiąca, że dla dowolnej liczby parzystej N istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych różniących się o N. Postawił ją francuski matematyk Alphonse de Polignac, żyjący na przełomie osiemnastego i dziewiętnastego wieku.

Hipotezy Polignac-a również nie udało się udowodnić, co jest o tyle logiczne, że dla przypadku szczególnego N=2 jest ona równoważna hipotezie o liczbach pierwszych bliźniaczych.

Tu jednak docieramy do interesującego momentu w naszych rozważaniach.

Zakładam, że poprzednie akapity niniejszego wpisu uśpiły mniej więcej 99% moich czytelników (o ile w ogóle jest ich aż tylu), niemniej jednak brnę dalej.

Otóż nie dalej jak kilka miesięcy temu pewien niezykle uzdolniony chiński matematyk wykazał, że istnieje liczba naturalna N mniejsza od siedemdziesięciu milionów, spełniająca hipotezę Polignac-a. Czyli, z polskiego na nasze, jest jakaś liczba N < 70,000,000 dla której istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych różniących się dokładnie o N.

Żeby było bardziej dramatycznie, matematyk ów (imieniem Zhāng Yìtáng) pracował dość długo na stanowiskach raczej mało kojarzących się z matematyką. Był sprzątaczem w motelu, starszym kanapkowym w Subway-u a także dostawcą i księgowym w restauracji. Aplikował wcześniej na stanowisko akademickie, ale jego kandydatura została odrzucona. Dopiero po niedawnym opublikowaniu swojego odkrycia różne uczelnie z calego świata zaczęły się bić o przyjęcie go w poczet swojej kadry dydaktycznej. Szczęśliwym zwycięzcą został uniwersytet w Hampshire, ale nie odbiegajmy zanadto od tematu głównego. Czyli prób udowodnienia hipotezy Polignac-a dla pewnego skończonego N.

13 maja 2013, po opublikowaniu dowodu przez Yìtánga (który okazał się poprawny i bardzo przejrzysty) wielu matematyków podjęło próby zejścia z wartością N jak najniżej. Już dwa tygodnie później udało się uzyskać dowód dla N<60,000,000. Międzynarodowy zespół matematyków powołał do życia projekt Polymath, w ramach którego udało się stopniowo zejść z N do wartości 4,680. Tak, z siedemdziesięciu milionów do niecałych pięciu tysięcy w raptem dwa miesiące.

Cztery dni temu James Maynard opublikował dowód, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych odległych od siebie o nie więcej niż 600.

Co więcej, Maynard rozszerzył problem na więcej niż dwie liczby pierwsze. Wykazał bowiem, że dla pewnych liczb naturalnych \(N_1, N_2\) istnieje nieskończenie wiele trójek liczb pierwszych \(P_1, P_2, P_3\) takich, że \(P_2 – P_1 = N_1\) oraz \(P_3 – P_2 = N_2\). A także, że istnieje nieskończenie wiele analogicznie zdefiniowanych czwórek liczb pierwszych, piątek liczb pierwszych (piątek! zakrzyknie pozostałe pół procenta czytelników), szóstek oraz generalnie rzecz ujmując K-ek liczb pierwszych, dla niektórych K > 3,500,000.

Można to sobie wyobrazić w postaci grzebienia, którego zęby wskazują kolejne liczby naturalne, z niektórymi zębami wyłamanymi. Najprostszym przykładem takiego grzebienia może być grzebień trzyzębny, któremu wyłamano ząb środkowy. Pozostałe dwa zęby (numer 1 i 3) można przyłożyć w nieskończenie wielu miejscach osi liczb naturalnych tak, żeby obydwa zęby wskazywały liczby pierwsze. To właśnie hipoteza Polignac-a dla N=2. Jednak gdy weźmieny grzebień pięciozębiasty i wyłamiemy mu zęby numer 2 i 4, istnieje tylko jedno miejsce na osi liczb naturalnych, w którym zęby grzebienia będą wskazywać wyłącznie liczby pierwsze; jest nim 3,5,7. Wynika to z reguły podzielności przez trzy, podobnie do niedawnej zagadki (tutaj). Tak więc nie wszystkie grzebienie „pasują”, jednak Maynard wykazał, że istnieją grzebienie o co najmniej trzech i pół milionach zębów takie, że można je przyłożyć w nieskończenie wielu miejscach osi liczb naturalnych, i każdy ząb będzie wskazywał liczbę pierwszą.

Bardzo to wszystko piękne jest…

[yop_poll id=”11″]

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!

Powiadom o
avatar
wpDiscuz