Kwadratowo

Nieskończoność od zawsze grała z intuicją w kotka i myszkę. Matematycy dość dobrze opanowali różne rodzaje nieskończoności, ale „zwykli” zjadacze chleba czasem wciąż dają się zapędzić w chaszcze.

Dziś prościutki przykład: gdzie jest więcej punktów, wewnątrz kwadratu, czy wzdłuż jego boków? Dla uproszczenia przyjmujemy kwadrat o wymiarach 1×1.

Intuicja podpowiada nam natychmiast, że wewnątrz kwadratu jest więcej punktów, bo wnętrze kwadratu jest dwuwymiarowe, a boki – jednowymiarowe, a więc dla każdego (pojedynczego) punktu na boku kwadratu możemy poprowadzić odcinek prostopadły do tego boku, który zawiera nieskończenie wiele punktów. Zgadza się?

Niby tak. Z drugiej jednak strony, zaraz pokażę, że liczba punktów wewnątrz kwadratu jest dokładnie taka sama, jak liczba punktów na jego obwodzie – a może nawet mniejsza!

Przyjmijmy, że kwadrat ma jeden z narożników w punkcie (0,0), a drugi w punkcie (1,1).

Weźmy teraz dowolny punkt P wewnątrz kwadratu.

Weźmy jego współrzędne (x, y).

Ustawmy te współrzędne jedna za drugą: najpierw x, a zaraz za nią y, ale bez początkowego zera i przecinka. W efekcie otrzymamy liczbę L złożoną ze wszystkich cyfr liczby x, po których następują wszystkie cyfry liczby Y. Przykład: P = (0.222, 0.333), wówczas L = 0.222333. Odmierzamy na dowolnym boku kwadratu punkt odległy od jednego z końców o 0.222333.

Żaden inny punkt P wewnątrz kwadratu nie da wartości 0.222333. A więc dla każdego punktu wewnątrz kwadratu możemy znaleźć dokładnie jeden UNIKALNY punkt na jednym z jego boków. Inaczej mówiąc ilość punktów tu i tam jest taka sama.

A że boki są aż cztery…

Wychodzi na to, że dla każdego punktu wewnątrz kwadratu możemy znaleźć cztery różne unikalne punkty na jego obwodzie. A więc obwód ma więcej punktów, niż wnętrze.

Zgadza się?

Obawiam się, że się zgadza, choćbyśmy nie wiem jak bardzo próbowali się przekonać, że jest inaczej 🙂

13
Dodaj komentarz

avatar
1 Comment threads
12 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
4 Comment authors
xpilJaroxpilEl torotolep Recent comment authors
  Subscribe  
najnowszy najstarszy oceniany
Powiadom o
Jaro
Gość
Jaro

jest podobna zagadka o strzale…
Leci sobie strzała. Przebywa połowę drogi, potem połowę tego co jej zostało, potem połowę tego co jej zostało itd. dzielimy i dzielimy i wychodzi, że strzała nigdy nie doleci. Jest tu błąd logiczny, ale rozwiązanie tego jakoś niespecjalnie przychodzi mi do głowy.

tolep
Gość
tolep

„Zagadka o strzale”. Ech… https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoksy_Zenona_z_Elei

A co do kwadratu, to robimy tak. Wykrawamy z wnętrza kwadratu obwód mniejszego kwadratu, Dosyć jasne jest, że te dwa obwody mają tle samo punktów, prawda? A ile jeszcze punktów tego wnętrza zostało…

Jaro
Gość
Jaro

zagadka z kwadratem to błąd logiczny. Polega na tym, że z definicji punkt nie ma wymiarów zatem nie można powiedzieć ile punktów zawiera prosta a ile kwadrat.
Zagadka ze strzałą to również błąd logiczny, tak jak to opisano w linku z wikipedii. Ruch z definicji opisywany jest przez czas i przesunięcie i nie można go rozpatrywać biorąc pod uwagę tylko jedną z tych zmiennych bo po prostu zaczynamy „spowalniać czas” co oczywiście nie ma miejsca. Czas płynie i w tym czasie pokonywany jest jakiś odcinek.
Oba te paradoksy są o tyle interesujące, że pokazują, iż matematyka, fizyka to nauki, które u podstaw mają logikę. Brak logiki zaś prowadzi do paradoksalnych wniosków.