Kwadratowo

Nieskończoność od zawsze grała z intuicją w kotka i myszkę. Matematycy dość dobrze opanowali różne rodzaje nieskończoności, ale “zwykli” zjadacze chleba czasem wciąż dają się zapędzić w chaszcze.

Dziś prościutki przykład: gdzie jest więcej punktów, wewnątrz kwadratu, czy wzdłuż jego boków? Dla uproszczenia przyjmujemy kwadrat o wymiarach 1×1.

Intuicja podpowiada nam natychmiast, że wewnątrz kwadratu jest więcej punktów, bo wnętrze kwadratu jest dwuwymiarowe, a boki – jednowymiarowe, a więc dla każdego (pojedynczego) punktu na boku kwadratu możemy poprowadzić odcinek prostopadły do tego boku, który zawiera nieskończenie wiele punktów. Zgadza się?

Niby tak. Z drugiej jednak strony, zaraz pokażę, że liczba punktów wewnątrz kwadratu jest dokładnie taka sama, jak liczba punktów na jego obwodzie – a może nawet mniejsza!

Przyjmijmy, że kwadrat ma jeden z narożników w punkcie (0,0), a drugi w punkcie (1,1).

Weźmy teraz dowolny punkt P wewnątrz kwadratu.

Weźmy jego współrzędne (x, y).

Ustawmy te współrzędne jedna za drugą: najpierw x, a zaraz za nią y, ale bez początkowego zera i przecinka. W efekcie otrzymamy liczbę L złożoną ze wszystkich cyfr liczby x, po których następują wszystkie cyfry liczby Y. Przykład: P = (0.222, 0.333), wówczas L = 0.222333. Odmierzamy na dowolnym boku kwadratu punkt odległy od jednego z końców o 0.222333.

Żaden inny punkt P wewnątrz kwadratu nie da wartości 0.222333. A więc dla każdego punktu wewnątrz kwadratu możemy znaleźć dokładnie jeden UNIKALNY punkt na jednym z jego boków. Inaczej mówiąc ilość punktów tu i tam jest taka sama.

A że boki są aż cztery…

Wychodzi na to, że dla każdego punktu wewnątrz kwadratu możemy znaleźć cztery różne unikalne punkty na jego obwodzie. A więc obwód ma więcej punktów, niż wnętrze.

Zgadza się?

Obawiam się, że się zgadza, choćbyśmy nie wiem jak bardzo próbowali się przekonać, że jest inaczej 🙂


Zapisz się
Powiadom o
guest
13 komentarzy
Inline Feedbacks
Zobacz wszystkie komentarze
13
0
Zapraszam do skomentowania wpisu.x
()
x