Zagadka o błędzie względnym

Dziś zagadka na poziomie mniej więcej szkoły średniej, profil biologiczno-chemiczny, z nauczycielem matematyki wiecznie chorym na {cenzura}, oraz…

No, łatwa, w sensie.

Najpierw jednak odrobina gry wstępnej, żeby naoliwić mózguły:

Z przedziału 30 – 42 będzie wylosowana jedna liczba rzeczywista, z rozkładem równomiernym (czyli: każda liczba jest jednakowo prawdopodobna).

Naszym zadaniem jest próba odgadnięcia tej liczby w sposób zapewniający jak najmniejszy maksymalny błąd bezwzględny.

Dla niezorientowanych: błąd bezwzględny to moduł różnicy między wartością, którą podaliśmy, a wartością faktycznie wylosowaną. Na przykład: podaliśmy 32, wylosowano 34, błąd bezwzględny wynosi 2 (i w drugą stronę też, bo moduł obcina znak, a więc: podaliśmy 42, wylosowano 40, błąd wynosi 2).

Natomiast „jak najmniejszy maksymalny błąd bezwzględny” to nic innego jak minimalizacja najgorszego możliwego wariantu.

Myślimy… myślimy… myślimy…

No przecież, że proste. Trzeba strzelać w środek przedziału, czyli w 36. Jeżeli postawimy na 36, nigdy nie dostaniemy błędu bezwzględnego powyżej 6. Jeżeli postawimy na cokolwiek innego niż 36, maksymalny błąd bezwzględny będzie większy od sześciu.

OK, mózguły naoliwione, teraz zagadka właściwa:

Z przedziału 30-42 zostanie wylosowana, z rozkładem równomiernym, jedna liczba rzeczywista.

Naszym zadaniem jest próba odgadnięcia tej liczby w taki sposób, aby zminimalizować maksymalny możliwy błąd względny.

Dla niezorientowanych: błąd względny to iloraz błędu bezwzględnego oraz wartości faktycznie wylosowanej.

Przykład #1

Podaliśmy: 41

Wylosowano: 34

Błąd bezwzględny: 41 – 34 = 7

Błąd względny: 7 / 34 0.205882

Przykład #2:

Podaliśmy: 31.88

Wylosowano: 32.7

Błąd bezwzględny: 32.7 – 31.88 = 0.82

Błąd względny: 0.82 / 32.7 0.02507645.

No to teraz jeszcze raz: podanie jakiej liczby zagwarantuje nam możliwie najmniejszy maksymalny błąd względny?

A jak to wygląda w przypadku ogólnym?

Czas – start…

11
Dodaj komentarz

avatar
3 Comment threads
8 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
4 Comment authors
CichyxpilxpilButterIza K Recent comment authors
  Subscribe  
najnowszy najstarszy oceniany
Powiadom o
Iza K
Gość

Podziwiam fakt, że potrafisz zacząć dzień od matematyki… Ja potrzebuję jeszcze przynajmniej dwóch kaw, żeby mój mózg osiągnął temperaturę roboczą…

Butter
Gość
Butter

Ostateczna odpowiedź na wszystko to zawsze 42 😉

Cichy
Gość

Jak pokazał napisany w minutę skrypt, minimum (0.1667) znajduje się w okolicach 35. Ogólnego wzoru na znajdowanie minimum nie udało mi się na razie wykombinować – przetestowałem kilka przedziałów, ale poza potwierdzeniem intuicji, że zawsze będzie to trochę poniżej środka, nie podsunęło mi to żadnej reguły.