Zagadka

Może nie tyle zagadka co łamigłówka matematyczna, ale gdybym zatytułował wpis “łamigłówka matematyczna”, nikt by pewnie nie zajrzał 😉

Zagadka jest dość prosta w treści, natomiast skutecznie zwodzi intuicję.

Brzmi tak oto:

Ile trzeba zgromadzić osób, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, wynosiło co najmniej 50%? Dla uproszczenia zakładamy, że rok ma 365 dni (czyli nie ma lat przestępnych).

Klasyczny tok myślenia idzie, z grubsza, o tak:

“Rok ma 365 dni… Dzielimy na pół… to będzie jakieś 183”

Prawda?

Prawda! Z tym, że gówno prawda. Statystyka to jedna z bardziej nieintuicyjnych gałęzi matematyki i często zwodzi na manowce.

Weźmy się za rozwiązanie w sposób systematyczny. Załóżmy, że grupa na początku jest pusta. Szanse, że dwie osoby w tej grupie mają urodziny tego samego dnia są raczej niewielkie. Przy grupie jednoosobowej również. Przy dwóch osobach zaczyna się coś dziać.

Szansa, że mają one urodziny tego samego dnia wynosi 1/365. Szansa, że NIE mają one urodzin tego samego dnia jest 364/365 (czyli około 0.997260274). Zgadza się?

Dokładamy trzecią osobę. Zakładając, że dwie pierwsze osoby mają urodziny w różne dni roku, zostało 363 dni “wolnych”. Czyli czansa, że trzecia osoba NIE dzieli urodzin z którąkolwiek z obecnych jest 363/365.
A co jeżeli te dwie jednak już mają wspólne urodziny? Szansa jest niewielka, ale jest. Tak naprawdę więc szansa, że trzecia osoba NIE ma wspólnych urodzin z tymi dwoma jest ciut mniejsza niż 363/365. A dokładnie jest to 363/365 * 364/365 czyli jakieś 0.991795834

Rozumując w ten sposób wyliczamy prawdopodobieństwo, że czwarta osoba NIE współdzieli daty urodzin z obecnymi trzema: 362/365 * 363/365 * 364/365 = 0.983644088

Dla piątej osoby będzie to: 361/365 * 362/365 * 363/365 * 364/365 = 0.972864426

I tak dalej i tak dalej. Okazuje się, że granicę 50% przekraczamy po dodaniu dwudziestej trzeciej osoby.

Czyli odpowiedź brzmi: 23. Tyle osób trzeba zgromadzić, żeby szanse na to, że dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, były co najmniej 50%

Jeżeli ktoś zna inne zagadki robiące intuicję w konia, proszę zapodać w komentarzu.

 


Liczba słów w tym wpisie: 351

Sprawdź też

Zagadka: kwadratowe 2020

Różne rzeczy można napisać o roku 2020. I z pewnością różne rzeczy będzie można o …

Zagadka z prześcieradłem – rozwiązanie

Zadanie było prościutkie: należało wyznaczyć różnicę powierzchni dwóch kul, z których jedna miała promień 6371 …

Zapisz się
Powiadom o
guest
11 komentarzy
Inline Feedbacks
Zobacz wszystkie komentarze
11
0
Zapraszam do skomentowania wpisu.x
()
x