Zagadka

Może nie tyle zagadka co łamigłówka matematyczna, ale gdybym zatytułował wpis "łamigłówka matematyczna", nikt by pewnie nie zajrzał 😉

Zagadka jest dość prosta w treści, natomiast skutecznie zwodzi intuicję.

Brzmi tak oto:

Ile trzeba zgromadzić osób, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, wynosiło co najmniej 50%? Dla uproszczenia zakładamy, że rok ma 365 dni (czyli nie ma lat przestępnych).

Klasyczny tok myślenia idzie, z grubsza, o tak:

"Rok ma 365 dni... Dzielimy na pół... to będzie jakieś 183"

Prawda?

Prawda! Z tym, że gówno prawda. Statystyka to jedna z bardziej nieintuicyjnych gałęzi matematyki i często zwodzi na manowce.

Weźmy się za rozwiązanie w sposób systematyczny. Załóżmy, że grupa na początku jest pusta. Szanse, że dwie osoby w tej grupie mają urodziny tego samego dnia są raczej niewielkie. Przy grupie jednoosobowej również. Przy dwóch osobach zaczyna się coś dziać.

Szansa, że mają one urodziny tego samego dnia wynosi 1/365. Szansa, że NIE mają one urodzin tego samego dnia jest 364/365 (czyli około 0.997260274). Zgadza się?

Dokładamy trzecią osobę. Zakładając, że dwie pierwsze osoby mają urodziny w różne dni roku, zostało 363 dni "wolnych". Czyli czansa, że trzecia osoba NIE dzieli urodzin z którąkolwiek z obecnych jest 363/365.
A co jeżeli te dwie jednak już mają wspólne urodziny? Szansa jest niewielka, ale jest. Tak naprawdę więc szansa, że trzecia osoba NIE ma wspólnych urodzin z tymi dwoma jest ciut mniejsza niż 363/365. A dokładnie jest to 363/365 * 364/365 czyli jakieś 0.991795834

Rozumując w ten sposób wyliczamy prawdopodobieństwo, że czwarta osoba NIE współdzieli daty urodzin z obecnymi trzema: 362/365 * 363/365 * 364/365 = 0.983644088

Dla piątej osoby będzie to: 361/365 * 362/365 * 363/365 * 364/365 = 0.972864426

I tak dalej i tak dalej. Okazuje się, że granicę 50% przekraczamy po dodaniu dwudziestej trzeciej osoby.

Czyli odpowiedź brzmi: 23. Tyle osób trzeba zgromadzić, żeby szanse na to, że dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, były co najmniej 50%

Jeżeli ktoś zna inne zagadki robiące intuicję w konia, proszę zapodać w komentarzu.

 

11 komentarzy

  1. Jak bym miała takiego nauczyciela matematyki w szkole to może nie byłabym takim matołem i może lubiłabym ten przedmiot. Brawo Piotruś

  2. uscisk mojej reki 😉

    a tak na serio to swiat jest maly, coraz czesciej sie o tym przekonuje na obczyznie, powiedzialabym nawet ze swiat sie kurczy 😉

  3. Witam,
    miałam przyjemność pracować w hotelu i wpisywać pesele osób meldujących się do systemu. Zameldowałam ok 3000 osób, z czego ŻADEN nie urodził się tego samego dnia co ja. (nie mówię o pełnej dacie wraz z rokiem, a jedynie o dniu i miesiącu). Haha. I jak to się ma do całości?

    1. Zagadka nie mówi o prawdopodobieństwie spotkania osoby, która ma taką samą datę urodzenia, jak Twoja, tylko o prawdopodobieństwie, że dwie osoby w grupie będą miały urodziny tego samego dnia. Przy 3000 osób prawdopodobieństwo to wynosi 1.

  4. A jaka jest różnica między: “osoba, która ma taką samą datę urodzenia”, a ” dwie osoby mające urodziny tego samego dnia”? Przecież to to samo. I dlaczego niby przy 3000 os, spotkanie osoby co ma urodziny wtedy co ja wynosi tylko 1?

    1. Różnica jest taka, że wśród 3000 osób może nie być ani jednej osoby, która ma urodziny tego samego dnia, co Ty, ale na bank są dwie osoby, które mają urodziny tego samego dnia. A 1 to jest najwyższe możliwe prawdopodobieństwo, więcej się nie da

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.