Słabe pierwsze

Liczby pierwsze są obywatelem pierwszej (nomen omen) kategorii na tym blogu. Mogę się nabijać z religii, polityki, komputerów czy fanbojów różnych marek (lub wacek), ale liczby pierwsze traktuję z należytą im powagą i szacunkiem. W końcu stoją one na straży naszego bezpieczeństwa w Internecie, a także są niezmierzonym źródłem ciekawostek matematycznych.

Niestety, niektóre z nich są słabe. Słaba liczba pierwsza to taka liczba pierwsza, która jest wczesna.

Wszystko jasne?

Nie?

No pewnie, że jasne. Wcześniaki na ogół są słabe, więc wszystko się zgadza.

A tak na serio: liczba pierwsza słaba (zwana czasem wczesną) to taka liczba pierwsza, która jest mniejsza od średniej arytmetycznej sąsiadujących z nią liczb pierwszych.

Przykładem takiej liczby jest siedem, ponieważ średnia jej sąsiadów (5, 11) wynosi osiem, czyli więcej, niż siedem.

Innym przykładem jest trzy, bo średnia otaczających ją dwójki i piątki to trzy i pół.

Albo takie 10181 - poprzednia pierwsza to 10177, następna - 10193, ich średnia to 10185, czyli więcej, niż 10181.

Paul Erdös zaproponował hipotezę, według której istnieje nieskończenie wiele par sąsiednich słabych liczb pierwszych (czyli odległych od siebie o dwa). Za jej udowodnienie oferował nawet sto dolarów nagrody, a za obalenie - 25000 dolarów (z czego można wnioskować, że był bardzo mocno przekonany o jej prawdziwości).

Liczby pierwsze będące średnią arytmetyczną swoich sąsiadów nazywamy zbalansowanymi. No a liczby pierwsze, które nie są ani słabe, ani zbalanasowane, innymi słowy są większe od średniej swoich pierwszych sąsiadów, to liczby pierwsze silne (uwaga na dualizm: "silność" liczb pierwszych ma dwie całkiem różne definicje: ta tutaj pochodzi z teorii liczb, ale jest jeszcze druga, kryptograficzna, o której może kiedy indziej).

Najdłuższy znany obecnie ciąg KOLEJNYCH liczb pierwszych słabych ma trzynaście wyrazów i zaczyna się od 1 472 840 004 019.

Fascynujące, nieprawdaż?

2 komentarze

  1. A ja uwielbiam dziewiątkę z powodu jej niezwykłości. Napisz coś fascynującego o 9 proszę. Moze czegoś nie wiem, a zbieram ciekawostki o tej liczbie.

    1. Dziewiątka? A proszę bardzo:

      1. Jest najmniejszą liczbą, którą można przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych na dwa różne sposoby (2+2+5 oraz 3+3+3)
      2. Jest liczbą nieporządków zbioru czteroelementowego
      3. Jest liczbą palindromiczną przy podstawie 2 (1001)
      4. Jest liczbą międzypierwszą (po naszemu: interprime), ponieważ jest średnią arytmetyczną sąsiednich liczb pierwszych (7, 11)
      5. Jest liczbą Tau, ponieważ dzieli się przez liczbę swoich podzielników
      6. Jest czwartą z kolei liczbą Motzkina
      7. Jest liczbą trójmorficzną, ponieważ jej trzecia potęga kończy się dziewiątką.
      8. Jest drugą z kolei liczbą domową
      9. Jest liczbą Duffina, ponieważ jest względnie pierwsza z sumą własnych podzielników.

      Mogę tak jeszcze długo, ale innym razem – czas na zmywak…

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.