Fibonacci, Pell, Gelfond…

Z samego tytułu już można wnioskować, że będzie o matematyce. Osoby uczulone na cyferki proszone są o posmarowanie się odpowiednim kremem bądź zmianę kanału. Całą resztę zapraszam na niezwykle nudną wycieczkę po liczbach pierwszych.

Zaczniemy od ciągu Fibonacciego.

Jak wszyscy dobrze wiemy[citation needed], ciąg Fibonacciego konstruujemy w taki sposób, że zaczynamy dwóch jedynek, a potem każdy następny element jest sumą dwóch poprzednich.

Nowoczesna matematyka upiera się przy tym, żeby zacząć od zera i jedynki, ale za chwilę zobaczymy, że oryginalne podejście – to bez zera – jest o wiele bardziej praktyczne.

Proste?

No przecież, że proste.

Ciąg Fibonacciego ma kilka interesujących właściwości, o których nie uczą nas ani w szkołach, ani na kursach programowania komputerów (chociaż każą nam wyliczać ten ciąg za pomocą różnych algorytmów… a raczej tego samego, nudnego algorytmu, w różnych językach).

Na przykład każda liczba Fibonacciego większa od 144 ma tę właściwość, że dzieli się przez co najmniej jedną liczbę pierwszą, przez którą nie dzieli się żadna liczba Fibonacciego od niej mniejsza.

Inną właściwością tego ciągu (i tutaj właśnie wymagane jest, żeby ciąg zaczynał się od dwóch jedynek, a nie od zera i jedynki) jest to, że każda liczba Fibonacciego będąca jednocześnie liczbą pierwszą, znajduje się na pozycji o numerze będącym również liczbą pierwszą. Wyjątkiem jest piątka, znajdująca się na pozycji numer 4.

Działa to oczywiście tylko w jedną stronę. Innymi słowy nie każda liczba Fibonacciego na pozycji będącej liczbą pierwszą, jest pierwsza.

Potem mamy, kolejno:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917, 475420437734698220747368027166749382927701417016557193662268716376935476241, …

I tak dalej.

Naturalnie nasuwającym się pytaniem jest: czy liczby pierwsze Fibonacciego się kiedyś kończą? Czy też jest ich nieskończenie wiele?

Okazuje się, że nie wiadomo…

Wiadomo, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (pisałem o tym kiedyś, tu można poczytać)

Wiadomo, że liczb w ciągu Fibonacciego jest nieskończenie wiele.

Ale czy te dwa zbiory mają nieskończenie wiele elementów wspólnych?

Hmmm.

No nie wiadomo i już.

Największą znaną współcześnie liczbą pierwszą Fibonacciego jest F81839, liczba składająca się z 17103 cyfr. Największą znaną, która PRAWDOPODOBNIE jest pierwsza, jest F2904353 – probabilistyczne testy pierwszości mówią, że tak, ale na 100% jeszcze nie wiadomo. Ma ona 606974 cyfry.

Ciąg Fibonacciego ma jedną ważną właściwość: jego iloraz dąży do złotej proporcji. Złoty podział odcinka na dwie części polega na tym, że iloraz długości krótszej części do dłuższej jest taki sam, jak dłuższej – do całości. Proporcja ta wynosi około 1.618 i można ją spotkać wszędzie: w kulturze, w biologii, tylko nie w piwnicy Kowalskiego, ale to tylko dlatego, że Kowalski nie ma piwnicy.

Innym ciągiem, bardzo podobnym do Ciągu Fibonacciego, jest ciąg Pella. Tutaj zaczynamy od jedynki i dwójki (X1=1, X2=2), a każdy następny element (XN) wyliczamy jako podwójność poprzedniego (2*XN-1) zwiększoną o poprzedzający go XN-2:

5 = 2*2+1

12=2*5+2

29=2*12+5

70=2*29+12

I tak dalej:

1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, 93222358, 225058681, 543339720, 1311738121, 3166815962, 7645370045, 18457556052, 44560482149, 107578520350, 259717522849, …

Ten ciąg współdzieli z ciągiem Fibonacciego cechę mówiącą o pierwszości elementów i ich indeksów: jeżeli jakiś element ciągu Pella jest pierwszy, to jego indeks również jest liczbą pierwszą. Z tym, że tu już nie ma wyjątków.

Geometrycznie ciąg Pella to kolejne mianowniki ułamków będących kolejnymi przybliżeniami pierwiastka z dwóch:

1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, …

No dobra. Był Fibonacci, był Pell, czas na Gelfonda.

Aleksander Gelfond był Rosjaninem, który miał całkiem spory wpływ na matematykę (udało mu się nawet rozwiązać jeden z Wielkich Problemów Hilberta) – postawił on również niewinnie brzmiącą hipotezę mówiącą, że liczb pierwszych, których cyfry sumują się do liczby parzystej, jest tyle samo, co liczb pierwszych, których cyfry sumują się do liczby nieparzystej.

Oczywiście ktoś może od razu się zjeżyć: jak to „tyle samo”, przecież skoro liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, to nie można mówić o równoliczności, prawda?

Prawda. Z tym, że gówno prawda. Przypuszczam, że nikt nie miałby problemu z przyznaniem, że liczb parzystych jest tyle samo, co nieparzystych. Albo, że ujemnych jest tyle samo, co dodatnich…

Mniej więcej sześć lat temu udało się tę hipotezę udowodnić.

A właściwie to nie do końca tak. Dowód przeprowadzono już w listopadzie 2005 roku, jednak musiał on potem zostać przejrzany (2007), zaakceptowany (2008) i oficjalnie opublikowany (2010). Jak widać ciała matematyczne też mają swoją bezwładność biurokratyczną…

Autor: xpil

Po czterdziestce. Żonaty. Dzieciaty. Komputerowiec. Krwiodawca. Emigrant. Rusofil. Lemofil. Sarkastyczny. Uparty. Mól książkowy. Ateista. Apolityczny. Nie oglądam TV. Uwielbiam matematykę. Walę prosto z mostu. Gram na paru instrumentach. Lubię planszówki. Słucham bluesa, poezji śpiewanej i kapel a’capella. || Kliknij tutaj po więcej szczegółów ||

Dodaj komentarz

2 komentarzy do "Fibonacci, Pell, Gelfond…"

Powiadom o
avatar
Sortuj wg:   najnowszy | najstarszy | oceniany
Butter
Gość

„ciąg Pella. Tutaj zaczynamy od jedynki i dwójki, a każdy następny element wyliczamy jako podwójność poprzedniego plus poprzedni minus jeden”
chyba powinno być podwójność poprzedniego plus element na pozycji o jeden mniejszej niż poprzedni.
Bo zapisałeś jako 2n+n-1…

wpDiscuz