Kwadraty, reszty i pierwszość

In Jestem, więc myślę by xpil0 Comments

Próbuję od jakiegoś czasu zrozumieć jak to się dzieje, że jeżeli jakaś liczba pierwsza daje przy dzieleniu przez cztery resztę jeden, to da się tę liczbę przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich (jednej parzystej, jednej nieparzystej), i to w dodatku na dokładnie jeden sposób.

Twierdzenie powyższe, zapisane w bardziej formalny sposób, wygląda następująco:

Dla każdej liczby pierwszej p takiej, że \(p \equiv 1 \pmod{4}\) istnieje dokładnie jedna para liczb naturalnych x, y, takich, że \(p = x^2 + y^2\).

Kilka przykładów:

\(29 = 4 + 25 = 2^2 + 5^2\) \(41 = 16 + 25 = 4^2 + 5^2\) \(37 = 1 + 36 = 1^2 + 6^2\)

I tak dalej.

Twierdzenie powyższe nosi nazwę – uwaga, niespodzianka! – „Twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów” i zostało sformułowane w piętnastym wieku przez Piotra Fermata (tak, tego od Wielkiej Hipotezy!), ale nie udało mu się go udowodnić.

Dziś dowodów na to twierdzenie jest wiele. Niektóre z nich zahaczają o liczby zespolone, inne operują na inwolucjach – niestety, wszystkie są zbyt złożone dla mojego małego rozumku, chociaż natężam go ile sił w neuronach.

Albo faktycznie to jest skomplikowane, albo po prostu mózg mi się już zaczyna lasować. Chyba dam sobie spokój i wrócę do lektury trzeciego tomu „Pomnika cesarzowej Achai”. Przynajmniej będzie z tego jakiś pożytek…

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!

Powiadom o
avatar
wpDiscuz