Kwadraty, reszty i pierwszość

Próbuję od jakiegoś czasu zrozumieć jak to się dzieje, że jeżeli jakaś liczba pierwsza daje przy dzieleniu przez cztery resztę jeden, to da się tę liczbę przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich (jednej parzystej, jednej nieparzystej), i to w dodatku na dokładnie jeden sposób.

Twierdzenie powyższe, zapisane w bardziej formalny sposób, wygląda następująco:

Dla każdej liczby pierwszej p takiej, że \(p \equiv 1 \pmod{4}\) istnieje dokładnie jedna para liczb naturalnych x, y, takich, że \(p = x^2 + y^2\).

Kilka przykładów:

\(29 = 4 + 25 = 2^2 + 5^2\) \(41 = 16 + 25 = 4^2 + 5^2\) \(37 = 1 + 36 = 1^2 + 6^2\)

I tak dalej.

Twierdzenie powyższe nosi nazwę – uwaga, niespodzianka! – „Twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów” i zostało sformułowane w piętnastym wieku przez Piotra Fermata (tak, tego od Wielkiej Hipotezy!), ale nie udało mu się go udowodnić.

Dziś dowodów na to twierdzenie jest wiele. Niektóre z nich zahaczają o liczby zespolone, inne operują na inwolucjach – niestety, wszystkie są zbyt złożone dla mojego małego rozumku, chociaż natężam go ile sił w neuronach.

Albo faktycznie to jest skomplikowane, albo po prostu mózg mi się już zaczyna lasować. Chyba dam sobie spokój i wrócę do lektury trzeciego tomu „Pomnika cesarzowej Achai”. Przynajmniej będzie z tego jakiś pożytek…

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!

Powiadom o
avatar
wpDiscuz