AGM

Poruszywszy niedawno zagadnienie średnich arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, postanowiłem trochę pogmerać na Wiki – a nuż ktoś przede mną już badał sprawę?

No i okazało się, że jak najbardziej. Może nie z takim rozmachem, ponieważ w najpopularniej wersji używa się „tylko” dwóch średnich (arytmetycznej i geometrycznej), ale zawsze coś…

No więc AGM czyli po naszemu Arithmetic-Geometric Mean to właśnie graniczna wartość a(n) i b(n), dla dowolnych dodatnich a(0) i b(0), przy następującej definicji a(n) oraz b(n):

\(a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}\)

\(b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\)

Ponieważ \(a_n\) oraz \(b_n\) dążą w nieskończoności do tej samej wartości, granica ta jest określana skrótem AGM i – okazuje się – ma całkiem niebanalne zastosowanie w matematyce. Na przykład \(AGM(1, \sqrt{2})\) jest wykorzystywane w szybkozbieżnych algorytmach aproksymacji \(\pi\).

W poprzednim wpisie zauważyłem też, że jeżeli trzy początkowe wyrazy tworzą ciąg geometryczny, granica a(n), b(n) oraz c(n) (średnie: arytmetyczna, harmoniczna oraz geometryczna) w nieskończoności równa się średniej geometrycznej wartości początkowych (a więc, zakładając, że a(0, b(0) oraz c(0) są poustawiane rosnąco, b(0)). Wyjaśnienie jest – okazuje się – banalnie proste. Otóż:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{a+b}{2} \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}} = \sqrt{a*b}\)

Jak ktoś nie wierzy, niech sobie policzy, kwestia czterech prostych przekształceń.

Podsumowując: ciężko znaleźć dziś niszę, której wcześniej nie zamieszkał jakiś jajogłowy…

Tymczasem zmywak się spiętrzył, jak to po przerwie świątecznej, czas więc zakładać rękawice i zabierać się za szorowanie.

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!

Powiadom o
avatar
wpDiscuz