Średnio

Człowiek ma taką naturę, że jak nie ma nic lepszego do roboty, zaczyna kombinować. Mi dziś przyszło do głowy interesujące zagadnienie matematyczne, którego wartość użytkowa jest zbliżona do wartości intelektualnej tego bloga (a więc przyzerowa, a w zasadzie nawet ujemna), ale matematycy zazwyczaj głęboko z tyłu mają użyteczność publiczną i po prostu lubią wgryzać się w zagadnienia ich zdaniem interesujące.

No ale do rzeczy.

Weźmy trzy różne liczby rzeczywiste dodatnie: x, y i z.

Policzmy ich średnią arytmetyczną: \(\frac{x+y+z}{3}\)

Policzmy ich średnią geometryczną: \(\sqrt[3]{x y z}\)

Policzmy ich średnią harmoniczną: \(\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)

W wyniku dostaniemy trzy różne liczby rzeczywiste (trzy różne średnie). Potraktujmy je w ten sam sposób co x, y i z, a więc policzmy z nich średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną.

Te trzy średnie potraktujmy znów tak samo.

I tak do nieskończoności. Prosta symulacja w Excelu pokazuje, że proces zbiega się dość szybko do jednej wartości (jednak logika podpowiada, że nigdy tej wartości nie osiągnie, ze względu na to, że średnia arytmetyczna trzech liczb nigdy nie będzie równa średniej geometrycznej i tak dalej) . Próbowałem sobie na szybkiego spróbować wyznaczyć tę wartość, ale że z limesów nigdy nie byłem prymasem, nie bardzo umiem zagadnienie ugryźć.

Ma ktoś jakieś pomysły?

Póki co wykombinowałem (doświadczalnie), że jeżeli x, y i z tworzą ciąg geometryczny (na przykład x=1, y=2, z=4 albo x=3, y=9, z=27), proces dąży do wartości y.

Hm.

Autor: xpil

Po czterdziestce. Żonaty. Dzieciaty. Komputerowiec. Krwiodawca. Emigrant. Rusofil. Lemofil. Sarkastyczny. Uparty. Mól książkowy. Ateista. Apolityczny. Nie oglądam TV. Uwielbiam matematykę. Walę prosto z mostu. Gram na paru instrumentach. Lubię planszówki. Słucham bluesa, poezji śpiewanej i kapel a'capella. || Kliknij tutaj po więcej szczegółów ||

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!

Powiadom o
avatar
wpDiscuz