Joy-givers

In Jestem, więc myślę by xpil1 Comment

Dziś będzie matematycznie. Ponieważ wiem, że część moich Czytelników cierpi na chroniczną niechęć do matematyki, od razu uprzedzam, że ten wpis jest nie tylko matematyczny, ale również kompletnie bezużyteczny w życiu codziennym. W odróżnieniu bowiem od całek, pochodnych lub macierzy, które mają jak najbardziej realne zastosowanie w życiu, liczby Harshad są tylko i wyłącznie ciekawostką.

Niemniej jednak, ponieważ wielcy matematycy nigdy się za bardzo nie martwili światem realnym, mam dziś temat na bloga 🙂

Samo słowo „Harshad” nie jest bynajmniej, jak to często bywa, nazwiskiem matematyka, który te liczby „znalazł” (jak ma to miejsce w przypadku liczb Mersenne’a, Fermata czy Sierpińskiego). Tym razem mamy składankę dwóch indyjskich słówek: harṣa (przyjemność) oraz da (dawać).

Stąd taki a nie inny tytuł wpisu.

Cechą liczb Harshad jest to, że dzielą się one bez reszty przez sumę własnych cyfr, w danym systemie liczbowym. Żeby nie przynudzać, skupię się dziś wyłącznie na liczbach Harshad w systemie dziesiętnym.

Przykłady liczb Harshad:
\(50: 5+0=5\), 50 dzieli się przez 5.
\(198: 1+9+8=18\), 198 dzieli się przez 18.

I tak dalej. Liczb Harshad jest mnóstwo, i są one dość gęsto ułożone na osi liczb naturalnych.

Ktoś mógłby pomyśleć w tym momencie, że każda liczba podzielna przez 9 jest liczbą Harshad (biorąc pod uwagę regułę podzielności przez 9, mówiącą, że liczba dzieli się przez 9 jeżeli suma jej cyfr dzieli się przez 9). Jednak byłby w błędzie, na przykład 99 dzieli się przez 9, ale 9+9=18, a 99 nie dzieli się przez 18 (chociaż 18 dzieli się przez 9).

Ciekawostką jest to, że nie istnieje ciąg kolejnych liczb naturalnych będących liczbami Harshad, o długości większej niż 20. Inną ciekawostką jest też, że istnieje nieskończenie wiele takich ciągów o długości równej 20. Pierwszy („najwcześniejszy”) z nich składa się z liczb o ilości cyfr przekraczającej 44 miliardy.

Jeszcze inna ciekawostka jest taka, że niektóre silnie kolejnych liczb naturalnych nie są liczbami Harshad. 432! jest pierwszą z nich.

Żadna liczba pierwsza większa od 7 nie jest liczbą Harshad (to akurat jest oczywiste, jak się nad tym chwilę zastanowić).

Istnieją też wielokrotne liczby Harshad, a więc takie, które podzielone przez sumę własnych cyfr dają w wyniku inną liczbę Harshad. Przykłady:

6804 (liczba Harshad 3-krotna)

\(6+8+0+4=18, \frac{6804}{18}=378\\3+7+8=18, \frac{378}{18}=21\\2+1=3, \frac{21}{3}=7\)

2016502858579884466176 (liczba Harshad 12-krotna)

\(2+0+1+6+5+0+2+8+5+8+5+7+9+8+8+4+4+6+6+1+7+6\\=108,\frac{2016502858579884466176}{108}=18671322764628559872\) \(1+8+6+7+1+3+2+2+7+6+4+6+2+8+5+5+9+8+7+2\\=99,\frac{18671322764628559872}{99}=188599219844732928\) \(1+8+8+5+9+9+2+1+9+8+4+4+7+3+2+9+2+8\\=99,\frac{188599219844732928}{99}=1905042624694272\) \(1+9+0+5+0+4+2+6+2+4+6+9+4+2+7+2 63,\frac{1905042624694272}{63 }\\=30238771820544\) \(3+0+2+3+8+7+7+1+8+2+0+5+4+4=54,\frac{30238771820544}{54}=559977255936\) \(5+5+9+9+7+7+2+5+5+9+3+6=72,\frac{559977255936}{72}=7777461888\) \(7+7+7+7+4+6+1+8+8+8=63,\frac{7777461888}{63}=123451776\) \(1+2+3+4+5+1+7+7+6=36,\frac{123451776}{36}=3429216\) \(3+4+2+9+2+1+6=27,\frac{3429216}{27}=127008\) \(1+2+7+0+0+8=18,\frac{127008}{18}=7056\) \(7+0+5+6=18,\frac{7056}{18}=392\) \(3+9+2=14,\frac{392}{14}=28\)

I tak dalej.

Jak się zapewne inteligentny Czytelnik już domyślił, przydatność tych liczb jest bardzo dyskusyjna. Poza pisaniem o nich na nudnych blogach tudzież robieniem z ich pomocą doktoratów i profesur, raczej niewielki z nich pożytek.

Ale co mi tam. Jak już wspominałem wielokrotnie, mój blog, moje liczby i będę sobie pisał o czym będę chciał 😉

Materiał do dzisiejszego wpisu zaczerpnąłem z Wikipedii.

A jak tam dotarłem? W jaki sposób zdrowy (przynajmniej fizycznie…), trzydziestoparoletni mężczyzna, mający dobrą pracę i kochającą rodzinę, może trafić na stronę Wikipedii opowiadającą o liczbach Harshad?

Podziękować muszę tutaj jednemu z komentarzodawców do mojego poprzedniego wpisu. Zainteresowałem się tam bliżej liczbą 73, za jej pomocą z kolei natknąłem się na słynne 42 (kto czytał Douglasa Adamsa ten wie o czym mowa), a 42 jest liczbą Harshad, o czym łaskawie wspomina Wiki. No i tak to się zaczęło…

Dodaj komentarz

1 Komentarz do "Joy-givers"

Powiadom o
avatar
Sortuj wg:   najnowszy | najstarszy | oceniany
butter
Gość
wpDiscuz