Delikatne pierwsze

Wydawałoby się, że o liczbach pierwszych wiemy już wszystko.

No dobra. Nie ma dowodu hipotezy Riemanna i paru innych. Ale to są tematy dość zawiłe dla przeciętnego zjadacza bitów. Jakiś czas temu udało się jednak odkryć nową prawidłowość odnośnie gęstości liczb pierwszych cyfrowo delikatnych.

Być może właśnie pomyślałeś: yyyyy...

I zaraz potem: ale że co?

Bardzo słuszne pytanie!

Liczba pierwsza cyfrowo delikatna ma tę właściwość, że zamiana którejkolwiek z jej cyfr na jakąkolwiek inną da w wyniku liczbę złożoną. Najmniejsza taka liczba to 294001: wszystkie liczby powstałe przez zamianę jednej cyfry na inną są złożone (na przykład 394001 albo 294501 albo 297001 i tak dalej).

"Na czuja" mogłoby się wydawać, że czym większe liczby pierwsze, tym mniejsza szansa na natrafienie na taką liczbę. No bo przecież z każdą dodaną cyfrą liczba możliwych zamian cyfr rośnie dziewięciokrotnie. Faktycznie, liczby te pojawiają się dość rzadko; poniżej miliona jest ich tylko pięć: 294001, 505447, 584141, 604171, 971767.

W 2008 roku Terrence Tao udowodnił, że takich liczb jest nieskończenie wiele. Siedem lat później dwójce raczej mało znanych matematyków (1, 2) udało się ów dowód wzmocnić: nie tylko jest ich nieskończenie wiele, ale dodatkowo pojawiają się one na tyle często, że jeżeli podzielić liczbę wszystkich liczb pierwszych cyfrowo delikatnych przez liczbę wszystkich liczb pierwszych, w wyniku dostaniemy nie zero, ale liczbę dodatnią odrobinę większą od zera (konkretnie: granica tej proporcji w nieskończoności jest większa od zera).

Nie wiem jakie ma to znaczenie dla matematyki, ale jako ciekawostka - zapychacz na nudny blog temat nadaje się idealnie.

Przy okazji, Terrence Tao, "cudowne dziecko" świata matematyki, pojawił się tu wcześniej już dwukrotnie. Raz w kontekście hipotezy rozbieżności Erdősa i raz przy okazji hipotezy Collatza:

8 komentarzy

  1. Yyyy… może mam za mały rozumek,. ale

    że jeżeli podzielić liczbę wszystkich liczb pierwszych przez liczbę wszystkich liczb pierwszych cyfrowo delikatnych, w wyniku dostaniemy liczbę dodatnią

    Skoro liczymy ile jest liczb pierwszych i liczb pierwszych cyfrowo delikatnych, to po podzieleniu tych liczb zawsze mamy liczbę większą od 0. No bo jak policzyć ujemną liczbę liczb pierwszych?

    1. Dodatkowo – dzielenie liczebności zbioru pewnych liczb przez jego podzbiór daje w wyniku liczbę co najmniej 1. A może się mylę?
      fly away…

      1. Mylisz się. Rozważ zbiór [1, 2, 3] i podzbiór liczb nieparzystych.

        Edit: Bzzzt, wrong. Będzie większy od 1.Ale oni tam dzielą odwrotnie, dla ww. przykładu nieparzyste przez zbiór. I dla tak postawionego przykładu może to dążyć do zera w miarę wzrostu zbioru. Weźmy zbiór liczb naturalnych i podzbiór: liczby naturalne mniejsze od 10.

    2. AFAIK można chyba założyć, że wynik dzielenia 2 liczb niezerowych rzadko jest 0.
      A ponieważ mówimy o liczności zbiorów, więc obie liczby są dodatnie..

      Oczywiście, jest ryzyko, że zaraz usłyszymy że to są wyniki delikatnie przyzerowe, ale… Na tym blogu widziałem już nie takie stwierdzenia 😉 [których mój mały rozumek nie obejmuje]

      1. Granice funkcji AKA limesy, zwł. w nieskończoności to trochę co innego niż “weźmy dwie przykładowe liczby”. Więc w tym przypadku “dążą do zera” nie oznacza, że kiedykolwiek je osiągają. Np. f(n)=1/n dla n dążącego do nieskończoności. W miarę wzrostu n dąży do zera (i taka jest granica), natomiast nigdy go nie osiągnie. Ale granica tej funkcji w nieskończoności to 0.

        Jeśli wykazali, że granica funkcji to 0,000001 to już zupełnie inna bajka, niż miało by być zero.

        1. Dokładnie o to chodzi. Granica tego ilorazu w nieskończoności jest dodatnia. Mówi nam to coś tam o gęstości zbioru tych liczb delikatnych, ale jak to się ma do schabowego z kapustą to już nie wiem 😉

    3. Autorowi wpisu pomylił się licznik z mianownikiem. Chodzi o to, że limes (ilość liczb pierwszych cyfrowo delikatnych mniejszych od N):(ilość liczb pierwszych mniejszych od N) jest dodatni przy N->∞.

      Już poprawiłem, dzięki za czujność!

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.