Zagadka na trzydzieste urodziny

Dawno nie było tu żadnej zagadki. Przeprowadzka wydudkała moje szare komórki moją szarą komórkę, i tak na co dzień niezbyt bystrą. Dziś jednak udało mi się wyłuskać tę oto sympatyczną zagwozdkę, którą niniejszym prezentuję.

Wyobraźmy sobie, że mamy trzydzieste urodziny.

Dla jednych byłby to zapewne horror, dla innych powrót do czasów młodości. Ha.

No więc kończymy dziś trzydzieści lat i rodzinka przygotowała nam pod tę okazję tort. Wielki, kusząco mieniący się różnymi smakowicie wyglądającymi cosiami. Tort - marzenie.

Jednakowoż zanim będziemy doń dopuszczeni, musimy najpierw zdmuchnąć świeczki. Rodzinka była na tyle złośliwa, że zamiast dwóch świeczek w kształcie trójki oraz zera, nadźmała trzydzieści pojedynczych świeczułek. Stoją sobie na wierzchu tortu i świecą. To znaczy, palą się. Ogniem w sensie. Jak to świeczki.

I teraz zaczyna się zagadka właściwa:

Zakładając, że przy pojedynczym dmuchnięciu gaśnie losowa ilość świeczek (wybrana z jednakowym prawdopodobieństwem spośród tych, które się jeszcze palą), ile razy spodziewamy się dmuchnąć, żeby je wszystkie zgasić?

Jeszcze raz: mamy 30 świeczek. Po każdym dmuchnięciu gaśnie losowo co najmniej jedna z pozostałych, ale nie więcej niż wszystkie, z rozkładem równomiernym. Jaka jest najbardziej prawdopodobna ilość dmuchnięć, po której zgaśnie ostatnia świeczka i będziemy mogli z wielkim nożem rzucić się na nasz tort?

Odpowiedź można wyguglać, ale proponuję podjąć próbę skorzystania z własnego mózgu. Czy co tam kto ma między uszami.

Czas - start...

31 komentarzy

      1. Strzeliłem za szybko, powinno być 15.
        Jeśli dobrze zrozumiałem zagadkę to najmniejsza liczba strzałów to 1 a największa 30. 15 plasuje się mniej więcej w środku.
        Niespecjalnie błyskotliwe, wiem, ale jak już wspomniałem – szczelam.

          1. No to może tak: 30 trzeba rozłożyć na wszystkie możliwe sumy, policzyć ile jest składników w każdej sumie. Najczęściej występująca liczba składników daje odpowiedź – LICZBĘ dmuchnięć.

      1. statystyka to mroczna nauka tajemna [szczególnie dla mnie]
        Losowałem sobie liczby z przedziały 1-30 i patrzyłem, ile razy trzeba wykonać takie losowanie, żeby przekroczyć 30.

          1. 1. Pierwsze dmuchnięcie: 15 zdmuchniętych, 15 zostaje
            2. Drugie: 8 zdmuchniętych 7 zostaje
            3. Trzecie: 3 zdmuchnięte, 4 zostają
            4. Czwarte: 2 zdmuchnięte, 2 zostają
            5. Piąte: jedna zdmuchnięta, 1 zostaje,
            6. Szóste: ostatnia zdmuchnięta

            1. Szansa, że w pierwszym dmuchnięciu zgasisz 15 świeczek wynosi 1/30. Szansa, że spośród 15 zdmuchniesz 8 jest 1/15. Szansa, że z ośmiu zdmuchniesz dokładnie 4 jest 1/8. I tak dalej. Nie bardzo widzę związek między tymi zdarzeniami a końcową odpowiedzią…

              1. szansa, że zdmuchnę 15 świeczek z 30 wynosi 1/2; 8 z 15 – prawie 1/2, 4 z 8 – 1/2, 2 z 4 – 1/2, 1 z 2 – 1/2 i zostaje 1 która zawsze zgaśnie zgodnie z treścią zadania

                1. Przeczytaj jeszcze raz uważnie warunki zadania. Wszystkie ilości świeczek są w każdym dmuchnięciu jednakowo prawdopodobne, w zakresie od jeden do ilości aktualnie płonących świeczek. Tym samym w pierwszym dmuchnięciu możesz z jednakowym prawdopodobieństwem zdmuchnąć jedną świeczkę, siedemnaście lub wszystkie.

                  1. to nie kumam o cochodzi. Bo jeśli z jednakowym prawdopodobieństwem to z jakim w takim razie? Bo jednakowe to może być każde między 0 a 1.

  1. Jaro: zaczynam nowy wątek bo tamten się za bardzo skompresował.

    “Z jednakowym prawdopodobieństwem” to znaczy dokładnie tyle, że zdmuchnięcie dowolnie wybranej ilości świeczek spośród aktualnie płonących jest tak samo prawdopodobne, jak zdmuchnięcie dowolnej innej ilości świeczek.

    Na początku masz 30 świeczek, a więc prawdopodobieństwo zgaszenia X z nich w pierwszym dmuchnięciu wynosi 1/30, dla X dowolnie wybranego spośród liczb 1..30.

    Jeżeli, dajmy na to, w pierwszym dmuchnięciu zgasiłeś siedem świeczek, wówczas zostało 23. W drugim dmuchnięciu prawdopodobieństwo zgaszenia X świeczek wynosi 1/23, dla każdego X spośród liczb 1..23.

    Dajmy na to, że w drugim dmuchnięciu zgasły 3 świeczki. Pozostaje 20. W trzecim dmuchnięciu wszystkie ilości świeczek (od 1 do 20) mogą zgasnąć z jednakowym prawdopodobieństwem wynoszącym 1/20.

    I tak dalej, aż do zgaszenia wszystkich świeczek. Ogólnie w każdym dmuchnięciu szansa na zgaszenie X świeczek wynosi 1/N, gdzie N jest ilością świeczek aktualnie płonących, a X jest dowolną liczbą całkowitą z zakresu 1..N.

    Teraz trochę jaśniej czy mam jeszcze coś wyjaśnić?

    Zamiast świeczek wyobraź sobie kostkę symetryczną z trzydziestoma ściankami, z której po każdym rzucie zabierasz tyle ścianek, ile wypadło oczek w danym rzucie, pozostałe ścianki numerujesz od jedynki i rzucasz znowu aż do chwili, kiedy nie pozostanie ani jedna ścianka. Albo urnę z trzydziestoma kulami, z której losujesz przypadkową ilość kul tyle razy, aż urna się opróżni.

      1. Nie jarzysz, bo sobie zafiksowałeś w głowie jeden, konkretny punkt widzenia i się go uporczywie trzymasz. Zapomnij o torcie, wybierz sobie inny model, który Ci bardziej odpowiada. Ten z urną na przykład.

        1. xpil, ilość zgaszonych świeczek to będzie wartość oczekiwana. Czyli dla 30 świeczek to będzie: 1/30*30 +1/30*29+1/30*28+…. wychodzi 15,5 co oznacza, ze zgaśnie 15,5 świeczki. Zakładamy, że zgasiliśmy 15. Zostaje 15 świeczek i znowu liczymy wartość oczekiwaną: 1/15*15 +1/15*14+….+1/15*1, wychodzi, że zgaśnie 8 świeczek zatem pozostaje 7 świeczek itd. itd. W sumie wychodzi, ze należy dmuchnąć 5 lub 6 razy.

          1. Też tak na początku kombinowałem. Ale nie tędy droga, chociaż wynik jest bliżej poprawnej odpowiedzi niż proponowane przez Jacka 15 czy 16…

  2. 5 lub 6 dmuchów. W szkole średniej przechodziłem okres burzy i naporu, więc po olimpiadach matematycznych z czasów podstawówki niewiele zostało.
    A teraz się zestarzałem…
    Więc intuicyjnie.

    Skoro “oczekujemy” że w każdym dmuchnięciu zgaśnie połowa, no to policzyłem ile razy trzeba dmuchnąć by została jedna – i dodać to ostatnie PEWNE dmuchnięcie. Wychodziłoby 6. Piątkę dodaję jeszcze bardziej intuicyjnie, bo widzi mi się że jeden nadspodziewanie udany dmuch bardziej zaburza ten łańcuszek liczb niż jeden nadspodziewanie mało udany.

    1. Super! Miło widzieć, że ktoś podążał przy rozwiązywaniu zagadki takim samym tropem, jak ja! Niestety, chociaż Twoja odpowiedź wydaje się być dobrze uzasadniona, to jest błędna 😉 Statystyka to niewdzięczne bydlę. Jak sam zauważyłeś, bardziej udany dmuch ma większy wpływ na ostateczny wynik, niż dmuch mniej udany. Bisekcja nie jest prawidłowym tropem.

      A teraz mała podpowiedź: trzeba zacząć od dupy strony.

      1. Diabli nadali. Przeoczyłem, że to nie połowy zgaszonych oczekujemy, tylko 31/60 (a nie 15/30) dla trzydziestu, ale już np 2/3 dla trzech i 3/4 dla dwóch.

        Znaczy, typowo spada jeszcze szybciej. Dalej nie wiem jak to _rozwiązać_, ale teraz już stawiam, że odpowiedź to 4. Słabo mi idzie udawanie komputera kwantowego.

            1. A no właśnie, 1.5 to oczekiwana ilość dmuchnięć dla dwóch świeczek. Teraz dodaj trzecią, czwartą, piątą itd. świeczkę i przemnóż / pododawaj za każdym razem. Przy którejś z kolei świeczce zauważysz oczywistą prawidłowość.

              1. 1,5 to oczekiwana ilość dmuchnięć dla dwóch świeczek? Aaaa… no fakt.

                Ja tam koncypowałem wcześniej że 1,5 to oczekiwana liczba zdmuchniętych świeczek przy jednym dmuchnięciu na dwie świeczki.

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.