Zagadka jest dość prosta. Rzekłbym, na poziomie kółka matematycznego w szkole średniej.
Zaczniemy od tego, że różnicę kwadratów \(A^2-B^2\) da się zapisać jako \((A-B)(A+B)\). Szukamy więc tak naprawdę par podzielników liczby 2020, gdzie mniejszy podzielnik jest (A-B) a większy (A+B).
Odwracając kota ogonem widzimy, że liczba A jest średnią arytmetyczną obydwu tych podzielników (bo znajduje się dokładnie pośrodku między (A-B) oraz (A+B)), a B - połową ich różnicy (bo (A+B) - (A-B) = 2B). Zapamiętajmy sobie tego odwróconego kota, przyda się za chwilę.
Przez co dzieli się 2020?
Lecimy po kolei:
2020/2=1010, 1010/2=505, 505/5=101
101 jest liczbą pierwszą, tak więc pełna lista pierwszych podzielników 2020 to: 2, 2, 5, 101.
Trzeba z nich teraz ułożyć możliwe kombinacje (A+B)(A-B). Z tym, że - uwaga - interesują nas wyłącznie takie układy, w których zarówno (A-B) jak też (A+B) mają taką samą parzystość! (a więc albo obydwa są parzyste, albo nieparzyste).
Dlaczego tak?
Wracam do kotów powyżej: jest tam wyraźnie napisane, że A jest średnią arytmetyczną obydwu czynników, więc jeżeli jeden z nich byłby parzysty, a drugi nieparzysty, to średnia wyszłaby ułamkowa.
Z czynników 2, 2, 5, 101 da się ułożyć tylko dwie kombinacje par, żeby po obydwu stronach wyszło coś parzystego: (10, 202) lub (2, 1010).
Wiemy, że A jest średnią tych dwóch liczb, zaś B - połową ich różnicy.
Czyli (A=106, B=96) lub (A=504, B=506)
Sprawdzamy:
\(106^2=11236, 96^2=9216, 11236-9216=2020\) \(506^2=256036, 504^2=254016, 256036-254016=2020\)Hura!
A co z przypadkiem ogólnym?
Każdą liczbę naturalną N da się zapisać w postaci iloczynu \(2^a*3^b*5^c*7^d*...\)
Policzymy sobie teraz ile jest wszystkich podzielników nieparzystych: (b+1)(c+1)(d+1)... - iloczyn ten oznaczymy sobie literą F:
\(F = (b+1)(c+1)(d+1)…\)Jeżeli a=0, wówczas N jest nieparzyste; w takim przypadku można rozbić podzielniki N na dwie grupy na F/2 różnych sposobów (no chyba że N jest kwadratem, wtedy będzie to F/2 zaokrąglone w górę do pełnej całości).
Jeżeli a=1 (N dzieli się przez 2, ale już nie przez 4), wówczas nie da się w ogóle uzyskać pary czynników parzystych lub nieparzystych (jeden w parze zawsze "wykorzysta" pojedynczą dwójkę i dla reszty nic nie zostanie - w efekcie jeden czynnik zawsze będzie parzysty a drugi - nieparzysty).
Jeżeli natomiast a>1 (a więc N jest podzielne przez 4), to możemy zawsze rozbić czynniki na dwie grupy takie, że niektóre dwójki znajdą się w jednej grupie, a pozostałe - w drugiej.
Ile jest takich par?
Jeżeli wszystkich możliwych par jest (a+1) F/2, w tym F par zawierających czynnik nieparzysty, wówczas par zawierających wyłącznie czynniki parzyste jest (a+1) F/2 - F = (a-1) F/2 - i to jest odpowiedź na pytanie bonusowe.
Jak Wam poszło?
What do you solve, my lord? Squares, squares, squares.
Nagród, tradycyjnie już, nie przewidziałem...
Komentarz do głosowania.
Akapity są dobre, bo głęboko humanistyczne, a matematyka jest, jak wiadomo, najhumanistyczniejszą ze wszystkich nauk. Zakładki też są niezłe, bo dobrze porządkują treści.
Gdyby to połączyć razem w akapadki lub zakapity, to może wyszła by nowa jakość, czyli:
Twoje słowne komentarze w akapitach – do czytania, a oryginały rozwiązań do wglądu w zakładkach – aby nie zaśmiecać głównego tekstu długimi wklejkami. Czy coś takiego…
Nie wiem, czy to ma sens, może inni uczestnicy się wypowiedzą?