Kwadratowe 2020: rozwiązanie zagadki

Zagadka jest dość prosta. Rzekłbym, na poziomie kółka matematycznego w szkole średniej.

Zaczniemy od tego, że różnicę kwadratów \(A^2-B^2\) da się zapisać jako \((A-B)(A+B)\). Szukamy więc tak naprawdę par podzielników liczby 2020, gdzie mniejszy podzielnik jest (A-B) a większy (A+B).

Odwracając kota ogonem widzimy, że liczba A jest średnią arytmetyczną obydwu tych podzielników (bo znajduje się dokładnie pośrodku między (A-B) oraz (A+B)), a B - połową ich różnicy (bo (A+B) - (A-B) = 2B). Zapamiętajmy sobie tego odwróconego kota, przyda się za chwilę.

Przez co dzieli się 2020?

Lecimy po kolei:

2020/2=1010, 1010/2=505, 505/5=101

101 jest liczbą pierwszą, tak więc pełna lista pierwszych podzielników 2020 to: 2, 2, 5, 101.

Trzeba z nich teraz ułożyć możliwe kombinacje (A+B)(A-B). Z tym, że - uwaga - interesują nas wyłącznie takie układy, w których zarówno (A-B) jak też (A+B) mają taką samą parzystość! (a więc albo obydwa są parzyste, albo nieparzyste).

Dlaczego tak?

Wracam do kotów powyżej: jest tam wyraźnie napisane, że A jest średnią arytmetyczną obydwu czynników, więc jeżeli jeden z nich byłby parzysty, a drugi nieparzysty, to średnia wyszłaby ułamkowa.

Z czynników 2, 2, 5, 101 da się ułożyć tylko dwie kombinacje par, żeby po obydwu stronach wyszło coś parzystego: (10, 202) lub (2, 1010).

Wiemy, że A jest średnią tych dwóch liczb, zaś B - połową ich różnicy.

Czyli (A=106, B=96) lub (A=504, B=506)

Sprawdzamy:

\(106^2=11236, 96^2=9216, 11236-9216=2020\)

\(506^2=256036, 504^2=254016, 256036-254016=2020\)

Hura!

A co z przypadkiem ogólnym?

Każdą liczbę naturalną N da się zapisać w postaci iloczynu \(2^a*3^b*5^c*7^d*...\)

Policzymy sobie teraz ile jest wszystkich podzielników nieparzystych: (b+1)(c+1)(d+1)... - iloczyn ten oznaczymy sobie literą F:

\(F = (b+1)(c+1)(d+1)…\)

Jeżeli a=0, wówczas N jest nieparzyste; w takim przypadku można rozbić podzielniki N na dwie grupy na F/2 różnych sposobów (no chyba że N jest kwadratem, wtedy będzie to F/2 zaokrąglone w górę do pełnej całości).

Jeżeli a=1 (N dzieli się przez 2, ale już nie przez 4), wówczas nie da się w ogóle uzyskać pary czynników parzystych lub nieparzystych (jeden w parze zawsze "wykorzysta" pojedynczą dwójkę i dla reszty nic nie zostanie - w efekcie jeden czynnik zawsze będzie parzysty a drugi - nieparzysty).

Jeżeli natomiast a>1 (a więc N jest podzielne przez 4), to możemy zawsze rozbić czynniki na dwie grupy takie, że niektóre dwójki znajdą się w jednej grupie, a pozostałe - w drugiej.

Ile jest takich par?

Jeżeli wszystkich możliwych par jest (a+1) F/2, w tym F par zawierających czynnik nieparzysty, wówczas par zawierających wyłącznie czynniki parzyste jest (a+1) F/2 - F = (a-1) F/2 - i to jest odpowiedź na pytanie bonusowe.

Jak Wam poszło?

RzastCichy FraglesCantharKrzysiekWaldek
Pierwszy odezwał się Rzast, który nie tylko podał poprawną odpowiedź, ale też opisał cały proces dochodzenia do niej w zasadzie identycznie jak ja tutaj, powyżej, tylko dużo krócej i prościej. Solidna robota!
Chwilę potem poprawne rozwiązanie nadesłał Cichy Fragles, którego rozwiązanie odrobinę różni się od tego, które opisałem powyżej, ale zasadniczo opiera się na tych samych filarach: szukaniu czynników N o tej samej parzystości. Fragles opisał rozwiązanie ogólne i szczególne za jednym zamachem.
Następnym rozwiązującym był Canthar, który - podobnie jak Fragles - podał od razu rozwiązanie ogólne i szczególne, obydwa poprawne. Canthar zrobił swoje obliczenia na papierze, ale niestety akurat zachorował mu skaner - mam nadzieję, że to nic poważnego i pacjent wróci do zdrowia lada dzień!
Potem poprawne rozwiązanie nadesłał Krzysiek. Poprawne, aczkolwiek nieco bałaganiarskie - ale wyniki zarówno w przypadku ogólnym jak też szczególnym podał dobre, więc zaliczam.
Na dzień przed publikacją tego wpisu swoje rozwiązanie podesłał również Waldek. Tym razem przyłożył się do zagadnienia i w dwustronicowym PDF-ie opisał wszystko ładnie zarówno dla przypadku szczególnego jak też ogólnego, a na koniec okrasił wszystko kawałkiem poezji:

What do you solve, my lord?
Squares, squares, squares.

Nagród, tradycyjnie już, nie przewidziałem...

1 Comment

  1. Komentarz do głosowania.
    Akapity są dobre, bo głęboko humanistyczne, a matematyka jest, jak wiadomo, najhumanistyczniejszą ze wszystkich nauk. Zakładki też są niezłe, bo dobrze porządkują treści.
    Gdyby to połączyć razem w akapadki lub zakapity, to może wyszła by nowa jakość, czyli:
    Twoje słowne komentarze w akapitach – do czytania, a oryginały rozwiązań do wglądu w zakładkach – aby nie zaśmiecać głównego tekstu długimi wklejkami. Czy coś takiego…
    Nie wiem, czy to ma sens, może inni uczestnicy się wypowiedzą?

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.