Kwadratowe 2020: rozwiązanie zagadki

Zagadka jest dość prosta. Rzekłbym, na poziomie kółka matematycznego w szkole średniej.

Zaczniemy od tego, że różnicę kwadratów \(A^2-B^2\) da się zapisać jako \((A-B)(A+B)\). Szukamy więc tak naprawdę par podzielników liczby 2020, gdzie mniejszy podzielnik jest (A-B) a większy (A+B).

Odwracając kota ogonem widzimy, że liczba A jest średnią arytmetyczną obydwu tych podzielników (bo znajduje się dokładnie pośrodku między (A-B) oraz (A+B)), a B - połową ich różnicy (bo (A+B) - (A-B) = 2B). Zapamiętajmy sobie tego odwróconego kota, przyda się za chwilę.

Przez co dzieli się 2020?

Lecimy po kolei:

2020/2=1010, 1010/2=505, 505/5=101

101 jest liczbą pierwszą, tak więc pełna lista pierwszych podzielników 2020 to: 2, 2, 5, 101.

Trzeba z nich teraz ułożyć możliwe kombinacje (A+B)(A-B). Z tym, że - uwaga - interesują nas wyłącznie takie układy, w których zarówno (A-B) jak też (A+B) mają taką samą parzystość! (a więc albo obydwa są parzyste, albo nieparzyste).

Dlaczego tak?

Wracam do kotów powyżej: jest tam wyraźnie napisane, że A jest średnią arytmetyczną obydwu czynników, więc jeżeli jeden z nich byłby parzysty, a drugi nieparzysty, to średnia wyszłaby ułamkowa.

Z czynników 2, 2, 5, 101 da się ułożyć tylko dwie kombinacje par, żeby po obydwu stronach wyszło coś parzystego: (10, 202) lub (2, 1010).

Wiemy, że A jest średnią tych dwóch liczb, zaś B - połową ich różnicy.

Czyli (A=106, B=96) lub (A=504, B=506)

Sprawdzamy:

Hura!

A co z przypadkiem ogólnym?

Każdą liczbę naturalną N da się zapisać w postaci iloczynu \(2^a*3^b*5^c*7^d*...\)

Policzymy sobie teraz ile jest wszystkich podzielników nieparzystych: (b+1)(c+1)(d+1)... - iloczyn ten oznaczymy sobie literą F:

Jeżeli a=0, wówczas N jest nieparzyste; w takim przypadku można rozbić podzielniki N na dwie grupy na F/2 różnych sposobów (no chyba że N jest kwadratem, wtedy będzie to F/2 zaokrąglone w górę do pełnej całości).

Jeżeli a=1 (N dzieli się przez 2, ale już nie przez 4), wówczas nie da się w ogóle uzyskać pary czynników parzystych lub nieparzystych (jeden w parze zawsze "wykorzysta" pojedynczą dwójkę i dla reszty nic nie zostanie - w efekcie jeden czynnik zawsze będzie parzysty a drugi - nieparzysty).

Jeżeli natomiast a>1 (a więc N jest podzielne przez 4), to możemy zawsze rozbić czynniki na dwie grupy takie, że niektóre dwójki znajdą się w jednej grupie, a pozostałe - w drugiej.

Ile jest takich par?

Jeżeli wszystkich możliwych par jest (a+1) F/2, w tym F par zawierających czynnik nieparzysty, wówczas par zawierających wyłącznie czynniki parzyste jest (a+1) F/2 - F = (a-1) F/2 - i to jest odpowiedź na pytanie bonusowe.

Jak Wam poszło?

What do you solve, my lord?
Squares, squares, squares.

Nagród, tradycyjnie już, nie przewidziałem...