Zagadka na trzydzieste urodziny – rozwiązanie

xpil - 2017/03/20 - Jestem, więc myślę /

Rozwiązanie niedawnej zagadki z tortem nie jest może trywialne, ale z drugiej strony nie wymaga pięciu doktoratów ani krwi nietoperza upuszczonej o północy na cmentarzu podczas nowiu. Przy odrobinie skupienia da się ją rozwiązać samodzielnie i bez używania czegokolwiek poza czterema (a w zasadzie trzema) podstawowymi działaniami matematycznymi.

Najprościej zabrać się za zagadkę od końca. Załóżmy na chwilę, że na torcie zamiast trzydziestu pali się tylko jedna świeczka. Ilu dmuchnięć będziemy potrzebowali, żeby ją zgasić?

Jednego. Zawsze, bez wyjątku.

D1 = 1

(przez DN oznaczam tutaj średnią ilość dmuchnięć potrzebną na zgaszenie wszystkich N świeczek)

A co jeżeli będą dwie świeczki?

Średnio w połowie przypadków zdmuchniemy obydwie na raz, a w połowie – pozostawimy jedną świeczkę i trzeba będzie dmuchać jeszcze raz.

Czyli:

D2 = 0.5 * 1 + 0.5 * (1 + D1) = 0.5 + 1 = 1.5

Dlaczego 1 + D1? Dlaczego dodajemy jedynkę? Bo jeżeli nie zdmuchniemy dwóch świeczek za pierwszym razem, musimy dodać to pierwsze dmuchnięcie do „licznika”.

A więc półtora dmuchnięcia. Przy dwóch świeczkach będziemy średnio dmuchać półtora raza, co w praktyce oznacza, że albo raz, albo dwa razy, fifty-fifty.

Lecimy dalej, czyli dokładamy trzecią świeczkę. Po pierwszym dmuchnięciu albo zgasimy wszystkie, albo jedną, albo dwie świeczki:

D3 = 0.(3) + 0.(3) * (1 + D2) + 0.(3) * (1 + D1) = 0.(3) + 0.(3) * 2.5 + 0.(3) * 2 = 1.8(3)

Przypominam, że cyfra w nawiasie oznacza ułamek okresowy, innymi słowy 0.(3) to jedna trzecia, a 0.(1) to jedna dziewiąta.

Dokładamy czwartą świeczkę:

D4 = 0.25 + 0.25 * (1 + D3) + 0.25 * (1 + D2) + 0.25 * (1 + D1) = 2.08(3)

Czy jest tutaj jakiś bardziej ogólny wzór, czy musimy tak kombinować na piechotę aż do trzydziestu świeczek?

Przyjrzyjmy się powyższym obliczeniom jeszcze raz:

D1 = 1

D2 = 1+1/2

D3 = 1+1/2+1/3

D4 = 1+1/2+1/3+1/4

Aha, takie buty.

Innymi słowy średnia ilość dmuchnięć potrzebnych na zgaszenie N świeczek to suma odwrotności wszystkich liczb naturalnych od 1 do N:

\(S_N = \sum_{x=1}^{N} \frac{1}{x}\)

Liczymy tę wartość dla N=30 i wychodzi nam mniej więcej 3.995, z dokładnością do jednej tysięcznej.

A więc należy oczekiwać, że wszystkie świeczki zgasną średnio po czterech dmuchnięciach.

Proste, prawda?

8
Dodaj komentarz

avatar
1 Comment threads
7 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
xpilxpilButter Recent comment authors
  Subscribe  
najnowszy najstarszy oceniany
Powiadom o
Butter
Gość
Butter

czyli moje 3 były chyba najbliżej 😉

%d bloggers like this: