Redukujemy do trzech zer: rozwiązanie

Niedawno pokazałem prościutką zagadkę. Dla wyrażenia:

\(\displaystyle \frac{(5^{20} 2^5)^3}{5^{42} 2^k} 27^4\)

trzeba znaleźć k, dla którego powyższa liczba kończy się dokładnie trzema zerami.

Rozwiązanie:

Najpierw zauważamy, że \(27^4=3^{12}\), a trójka podniesiona do jakiejkolwiek potęgi daje na końcu 3, 1, 7 albo 9 – innymi słowy mnożenie przez dowolną potęgę trójki w żaden sposób nie wpływa na ilość zer na końcu wyniku, czyli można ten kawałek odrzucić.

Zostaje nam:

\(\displaystyle \frac{(5^{20} 2^5)^3}{5^{42} 2^k} = \frac{5^{60} 2^{15}}{5^{42} 2^k} = 5^{18} 2^{15-k}\)

Żeby powyższe wyrażenie miało na końcu dokładnie trzy zera, musi dzielić się przez \(10^3\) ale już nie przez \(10^4\). Zatem wyciągamy \(10^3\) przed nawias:

\(10^3 (5^{15} 2^{12-k})\)

Żeby wyrażenie w nawiasie nie miało na końcu zera (\(10^3\) już ma na końcu 3 zera, więcej nie potrzebujemy), nie może zawierać ani jednej dziesiątki. A skoro mamy tam piątkę (w wysokiej potędze), musimy pozbyć się z nawiasu dwójki. Innymi słowy widoczną tam dwójkę musimy podnieść do zerowej potęgi, czyli:

\(k=12\)

Poprawnej odpowiedzi udzieliło w komentarzach kilka osób – zapraszam do lektury oryginalnego wpisu.

P.S. Wtyczkę Mathjax-LaTex “naprawiłem” w taki sposób, że włączyłem opcję ładowania biblioteki MathJax bezpośrednio z serwerów MathJax. Zaleta: zawsze działa. Wada: uzależniam poprawność wyświetlania wyrażeń matematycznych od zewnętrznej firmy. Coś za coś…

Zapisz się
Powiadom o
guest
8 komentarzy
Inline Feedbacks
Zobacz wszystkie komentarze
8
0
Zapraszam do skomentowania wpisu.x
()
x