Redukujemy do trzech zer: rozwiązanie

Niedawno pokazałem prościutką zagadkę. Dla wyrażenia:

\(\displaystyle \frac{(5^{20} 2^5)^3}{5^{42} 2^k} 27^4\)

trzeba znaleźć k, dla którego powyższa liczba kończy się dokładnie trzema zerami.

Rozwiązanie:

Najpierw zauważamy, że \(27^4=3^{12}\), a trójka podniesiona do jakiejkolwiek potęgi daje na końcu 3, 1, 7 albo 9 - innymi słowy mnożenie przez dowolną potęgę trójki w żaden sposób nie wpływa na ilość zer na końcu wyniku, czyli można ten kawałek odrzucić.

Zostaje nam:

\(\displaystyle \frac{(5^{20} 2^5)^3}{5^{42} 2^k} = \frac{5^{60} 2^{15}}{5^{42} 2^k} = 5^{18} 2^{15-k}\)

Żeby powyższe wyrażenie miało na końcu dokładnie trzy zera, musi dzielić się przez \(10^3\) ale już nie przez \(10^4\). Zatem wyciągamy \(10^3\) przed nawias:

\(10^3 (5^{15} 2^{12-k})\)

Żeby wyrażenie w nawiasie nie miało na końcu zera (\(10^3\) już ma na końcu 3 zera, więcej nie potrzebujemy), nie może zawierać ani jednej dziesiątki. A skoro mamy tam piątkę (w wysokiej potędze), musimy pozbyć się z nawiasu dwójki. Innymi słowy widoczną tam dwójkę musimy podnieść do zerowej potęgi, czyli:

\(k=12\)

Poprawnej odpowiedzi udzieliło w komentarzach kilka osób - zapraszam do lektury oryginalnego wpisu.

P.S. Wtyczkę Mathjax-LaTex "naprawiłem" w taki sposób, że włączyłem opcję ładowania biblioteki MathJax bezpośrednio z serwerów MathJax. Zaleta: zawsze działa. Wada: uzależniam poprawność wyświetlania wyrażeń matematycznych od zewnętrznej firmy. Coś za coś...

8 komentarzy

    1. A głowę bym dał, że mi w tamtym wpisie wcięło wszystkie komentarze oprócz pierwszego. I bym teraz, kurna, nie miał głowy…

      1. Mój komentarz wcięło.
        Liczby z 5 w podstawie podniesione do jakiejkolwiek potęgi zawsze kończą się na 5 czyli zasadniczo nic nie wnoszą do rozwiązania. Można je spokojnie wywalić z tego wyrażenia co znacznie upraszcza sprawę.

        1. Yyy… Ale piątka pomnożona przez dwójkę daje zero na końcu, a trójka nie. Dlatego potęgi trójki możemy na dzień dobry wykluczyć a piątek – nie.

      1. Aleś mi wjechał na ambicje. Przeczytałem od nowa. Chyba faktycznie najprostsza z tu publikowanych. Nawet rozumiem rozwiązanie. Bo tego krojenia pizzy przez Automateusza za nic. Ale dyskusja tam zacna. Do licha, znowu jestem głodny…

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.