Redukujemy do trzech zer: rozwiązanie

https://xpil.eu/6b5

Niedawno pokazałem prościutką zagadkę. Dla wyrażenia:

\(\displaystyle \frac{(5^{20} 2^5)^3}{5^{42} 2^k} 27^4\)

trzeba znaleźć k, dla którego powyższa liczba kończy się dokładnie trzema zerami.

Rozwiązanie:

Najpierw zauważamy, że \(27^4=3^{12}\), a trójka podniesiona do jakiejkolwiek potęgi daje na końcu 3, 1, 7 albo 9 - innymi słowy mnożenie przez dowolną potęgę trójki w żaden sposób nie wpływa na ilość zer na końcu wyniku, czyli można ten kawałek odrzucić.

Zostaje nam:

\(\displaystyle \frac{(5^{20} 2^5)^3}{5^{42} 2^k} = \frac{5^{60} 2^{15}}{5^{42} 2^k} = 5^{18} 2^{15-k}\)

Żeby powyższe wyrażenie miało na końcu dokładnie trzy zera, musi dzielić się przez \(10^3\) ale już nie przez \(10^4\). Zatem wyciągamy \(10^3\) przed nawias:

\(10^3 (5^{15} 2^{12-k})\)

Żeby wyrażenie w nawiasie nie miało na końcu zera (\(10^3\) już ma na końcu 3 zera, więcej nie potrzebujemy), nie może zawierać ani jednej dziesiątki. A skoro mamy tam piątkę (w wysokiej potędze), musimy pozbyć się z nawiasu dwójki. Innymi słowy widoczną tam dwójkę musimy podnieść do zerowej potęgi, czyli:

\(k=12\)

Poprawnej odpowiedzi udzieliło w komentarzach kilka osób - zapraszam do lektury oryginalnego wpisu.

P.S. Wtyczkę Mathjax-LaTex "naprawiłem" w taki sposób, że włączyłem opcję ładowania biblioteki MathJax bezpośrednio z serwerów MathJax. Zaleta: zawsze działa. Wada: uzależniam poprawność wyświetlania wyrażeń matematycznych od zewnętrznej firmy. Coś za coś...

https://xpil.eu/6b5

8 komentarzy

    1. A głowę bym dał, że mi w tamtym wpisie wcięło wszystkie komentarze oprócz pierwszego. I bym teraz, kurna, nie miał głowy…

      1. Mój komentarz wcięło.
        Liczby z 5 w podstawie podniesione do jakiejkolwiek potęgi zawsze kończą się na 5 czyli zasadniczo nic nie wnoszą do rozwiązania. Można je spokojnie wywalić z tego wyrażenia co znacznie upraszcza sprawę.

        1. Yyy… Ale piątka pomnożona przez dwójkę daje zero na końcu, a trójka nie. Dlatego potęgi trójki możemy na dzień dobry wykluczyć a piątek – nie.

      1. Aleś mi wjechał na ambicje. Przeczytałem od nowa. Chyba faktycznie najprostsza z tu publikowanych. Nawet rozumiem rozwiązanie. Bo tego krojenia pizzy przez Automateusza za nic. Ale dyskusja tam zacna. Do licha, znowu jestem głodny…

Skomentuj xpil Anuluj pisanie odpowiedzi

Komentarze mile widziane.

Jeżeli chcesz do komentarza wstawić kod, użyj składni:
[code]
tutaj wstaw swój kod
[/code]

Jeżeli zrobisz literówkę lub zmienisz zdanie, możesz edytować komentarz po jego zatwierdzeniu.