Szósty element: rozwiązanie zagadki

3, 10, 93, 196, 485 – i co dalej? Jaka zależność łączy te liczby?

Okazało się, że rozwiązań jest kilka, na co jednak z właściwą sobie beztroską nie wpadłem przy pisaniu zagadki. Wiadomo przecież, że dla dowolnych n liczb da się napisać wielomian (n-1)-go stopnia, który będzie miał pierwiastki równe tym liczbom. NIektórzy z Was uświadomili mi to, przysyłając takie wielomiany. Touché!

Na pomysł, aby użyć tych liczb jako wykładników jako pierwszy wpadł Waldek, któremu w związku z tym należy się palma zwycięzcy oraz dożywotnie prawo przechwalania się rozwiązaniem zagadki 🙂

Zobaczmy co dzieje się jeżeli zaczniemy kolejno podnosić dwójkę do potęg podanych w zagadce:

\(2^{3}=8\\2^{10}=1 024\\2^{93}=9 903 520 314 283 042 199 192 993 792\\2^{196}=10 043 362 776 618 (…) 206 336\\2^{485}=99 895 953 610 111 (…) 285 632\)

Coś się zaczyna klarować…

Okazuje się, że każda z tych potęg dwójki jest odrobinę bliższa (procentowo) całkowitej potędze liczby dziesięć od swojej poprzedniczki. Między \(2^3\) a 10 jest 20% różnicy. Między \(2^{10}\) a 1000 – już tylko 2.4%, między \(2^{93}\) a \(10^{28}\) tylko niecały 1% i tak dalej. Pomiędzy \(2^{10}\) a \(2^{93}\) nie ma ani jednej potęgi dwójki, która byłaby bliższa potędze 10 o mniej niż 2.4%.

Między \(2^{485}\) a \(10^{146}\) jest około 0.1% różnicy.

Kolejną taką liczbą jest więc – oczywiście – 2136.

2136

Różnica między \(2^{2136}\) a \(10^{643}\) to zaledwie 0.016%.

A co dalej?

Jak wspomniałem w treści zagadki, zawsze da się znaleźć potęgę dwójki, która będzie procentowo bliższa jakiejś całkowitej potędze 10 niż jej poprzedniczka. Jest to więc ciąg nieskończony. Kilka kolejnych wyrazów: 13301, 28738, 42039, 70777, 254370, 325147, 6107016, 6432163, 44699994, 51132157, 146964308, 198096465, 345060773, 1578339557, 1923400330, 82361153417, 496090320832, 578451474249, 2809896217828, 6198243909905.

Więcej szczegółów można znaleźć tutaj.

Zapisz się
Powiadom o
guest
2 komentarzy
Inline Feedbacks
Zobacz wszystkie komentarze
2
0
Zapraszam do skomentowania wpisu.x
()
x