Kółka, elipsy, cięciwy i Fibonacci

Bierzemy okrąg o średnicy jeden.

Na jego obwodzie wybieramy (N+1) równo odległych od siebie punktów. Inaczej mówiąc dzielimy okrąg na (N+1) jednakowej długości łuków.

Wybieramy jeden z tych (N+1) punktów łączymy go za pomocą N cięciw z pozostałymi N punktami, o tak:

Przykład dla N=6
Przykład dla N=6

 

Następnie mnożymy przez siebie długości wszystkich N cięciw.

Co nam wyjdzie?

N!

(ale nie N silnia, tylko N ze zdziwionym wykrzyknikiem)

To jest ciekawostka numer jeden. Jeżeli jednak, Czytelniku, czytasz ten wpis uważnie od samego początku, na pewno kojarzysz, że w tytule jest nazwisko Fibonacciego. Czemu tak?

A no temu, że wystarczy nasz okrąg (razem z N cięciwami!) rozciągnąć wzdłuż stycznej w naszym wybranym punkcie tak, żeby dostać jajko (zwane fachowo elipsą) o wysokości \(\sqrt{5}\), żeby zaczęły się dziać prawdziwe cuda.

Tu mamy nasz okrąg z poprzedniego obrazka rozciągnięty w pionie do \(\sqrt{5}\)

Bierzemy teraz wszystkie cięciwy i – podobnie jak poprzednio – mnożymy ich długości. Co wyjdzie?

Otóż wyjdzie…

… fanfary…

\( N F_N\)

czyli po naszemu N – krotność N-tej z kolei liczby Fibonacciego.

Aby dowieść prawdziwości tego stwierdzenia należy skorzystać z lematu, który mówi, że jeżeli elipsę podzielimy na łuki jak wyżej, to iloczyn długości cięciw wynosi \( N \frac{A^N – B^N}{A-B}\), gdzie (A-B) oraz (A+B) to odpowiednio krótsza i dłuższa średnica elipsy. W naszym przypadku długości te dają N-krotność wzoru Bineta (więcej szczegółów tutaj: !klik!), który generuje kolejne liczby Fibonacciego dla kolejnych N.

Trochę to poskracałem, bo nie chciało mi się wgryzać w te wszystkie cyferki (jestem leniwy), ale zapewniam, że wszystko się zgadza.

Magia, panie.


Dodaj komentarz

avatar
  Subscribe  
Powiadom o
%d bloggers like this: