Nieskończone ułamki. Rozwiązanie zagadki.

W zagadce proszę o ustalenie sumy wszystkich ułamków postaci 1/n takich, że n jest liczbą naturalną, a ułamek w zapisie dziesiętnym ma skończoną liczbę cyfr.

Zauważamy na dzień dobry, że jedyne liczby, które mogą znaleźć się w mianowniku tak, aby dać ułamek ze skończonym rozwinięciem dziesiętnym to całkowite potęgi dwójki lub piątki oraz ich iloczyny. Na przykład 1/10 albo 1/20 czy 1/25.

Bierze się to stąd, że liczymy w układzie dziesiątkowym, a 2 i 5 to jedyne podzielniki 10. Gdybyśmy zamiast dwóch rąk po 5 palców mieli, dajmy na to, trzy ręce po 7 palców, pewnie liczylibyśmy w systemie o podstawie 21 i wtedy naszymi podstawowymi liczbami byłyby 3 i 7. Ale nie są.

Tak więc szukamy sumy ciągu zaczynającego się od: 1/1, 1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10, 1/16, 1/20, 1/25, 1/32, 1/40, 1/50, 1/64...

Nie jest to niestety malejący ciąg geometryczny - wtedy byłoby aż za łatwo...

Spróbujmy sobie jakoś ten ciąg usystyme... usmety...usystetymaz... poukładać, na przykład według potęg piątki.

Załóżmy na początek, że potęg piątki nie ma w ogóle. Dostaniemy wtedy ciąg 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... którego suma wynosi 2.

A teraz zobaczmy co jeżeli weźmiemy ten sam ciąg, ale dodatkowo z pierwszą potęgą piątki (i z pominięciem pierwszego wyrazu, bo ten jest już uwzględniony w powyższym ciągu):

1/10, 1/20, 1/40, 1/80, ...

Tutaj suma wynosi 2/5

Sprawdźmy wersję z kwadratem piątki:

1/50, 1/100, 1/200, 1/400...

Suma = 2/25

Wygląda na to, że kolejne sumy tworzą... ciąg geometryczny:

2, 2/5, 2/25, 2/125...

Suma tego ciągu to 2.5

Można inaczej?

Można.

Weźmy sumę ciągu składającego się w mianowniku wyłącznie z potęg dwójek (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) i przemnóżmy go przez sumę analogicznego ciągu z piątkami (1 + 1/5 + 1/25 + 1/125 + ....).

Jak wiadomo żeby wykonać takie mnożenie trzeba przemnożyć każdy element pierwszego nawiasu przez każdy element drugiego nawiasu, a wyniki dodać - ponieważ dwójka i piątka są względnie pierwsze, pary w tych iloczynach są unikalne i zawierają każdą możliwą kombinację 1/(2^x 5^y). Pierwszy nawias sumuje się do dwójki, drugi do 5/4, iloczyn to... 2.5. Zgadza się.

A jak Wam poszło?

1W chwilę po opublikowaniu zagadki swoją odpowiedź nadesłał Krzysiek. Poprawną - zaliczam!

2Niecałe dwie godziny później odezwał się Waldek:

Pierwotność tego zadania jest wzruszająca. Kojarzy mi się ona z naturą Wszechświata i odkrywaniem jego tajnych tajników...

-- Waldek
-- Również Waldek

3Trzeci był Tywan, którego rozwiązanie (poprawne!) opiera się na kodzie Mathematica:

4W zabawie wziął też udział Cichy, ze szczegółową rozpiską:

5Zaraz potem swoje drugie rozwiązanie - tym razem oparte na karkuszu[czyli arkuszu kalkulacyjnym] - podesłał Waldek:

6We czwartek przyszło rozwiązanie Buttera, który się był machnął o połówkę i mu w pythonowej symulacji wyszło dwa zamiast dwa-i-pół. Nie zaliczam.

7Rozie odezwał się jako siódmy i podał wynik 1.5 z zastrzeżeniem jednak, że wykluczył 1/1 bo jego zdaniem nie daje w wyniku ułamka dziesiętnego. Zaliczam.

1 Comment

  1. To ja może refleksnę tym, co mnie wzruszyło w zadaniu.

    Zazwyczaj podobne sumy, iloczyny i inne nieskończone dziwadła w nawet prostych ciągach teorioliczbowych zawierają e, pi, gamma, etc – jest tego multum. Rzadko kiedy rozwiązaniem jest inna stała, a jeśli już to jest jakaś dziwna i mało zrozumiała.
    https://pl.wikipedia.org/wiki/Lista_sta%C5%82ych_matematycznych
    Te stałe są zazwyczaj niewymierne! Zrobienie niebanalnego zadania w podobnym stylu, ale ze stałą wymierną, to jest pewne wyzwanie. Oczywiście tutaj rozwiązanie było bardzo proste, ale sam pomysł sumowania takiego podziału liczb i zobaczenia, co z tego wyjdzie musiał komuś fajnemu przyjść do głowy.

    Bardzo naukowe stałe są raczej nudne. Dlatego jestem wielkim fanem stałych bardziej rozrywkowych, ale zaskakujących (przynajmniej na początku), np.: 6174.
    https://en.wikipedia.org/wiki/6174_(number)

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.