Prostokąty w 3d: zagadka

Prostokąt w 3d to po naszemu prostopadłościan. Tym będziemy się dziś zajmować.

Na rozgrzewkę zaczniemy jednak od „porządnych” prostokątów dwuwymiarowych.

Pytanie brzmi: czy istnieje prostokąt, którego pole powierzchni (wyrażone w jednostkach kwadratowych) jest równe długości jego obwodu (wyrażonej w jednostkach liniowych)?

Odpowiedź złośliwa brzmi: TAK.

Odpowiedź mniej złośliwa mówi, że owszem, są dwa takie prostokąty: jeden to kwadrat o boku długości 4 (4*4 = 4+4+4+4) a drugi to prostokąt o bokach długości 3 i 6 (3*6=3+3+6+6).

Proste?

No to teraz po tej niewielkiej zakąsce przejdźmy do dania głównego: należy znaleźć wszystkie prostopadłościany, których objętość (wyrażona w jednostkach sześciennych) jest taka sama, jak ich pole powierzchni całkowitej (wyrażone w jednostkach kwadratowych).

Na zachętę przedstawię jeden taki prostopadłościan: sześcian o krawędzi 6. Jego objętość to 216 (6*6*6), tyle samo co pole powierzchni całkowitej (sześć kwadratów, każdy 6×6=36, razem 216)

Czy są inne? Jeżeli tak, to wiela ich? Jakiś konkret?

Czas – start.

7
Dodaj komentarz

avatar
Obrazki i zdjęcia
 
 
 
Filmy
 
 
 
Inne
 
 
 
3 Wątki komentarzy
4 Thread replies
4 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
4 Comment authors
xpilpuregButterRzast Recent comment authors
  Zapisz się  
Powiadom o
Butter
Gość
Butter
offline

brutforce 😉 mniam

Butter
Gość
Butter
offline

3 7 42
3 8 24
3 9 18
3 10 15
3 12 12
4 5 20
4 6 12
4 8 8
5 5 10
6 6 6

Rzast
Gość
Rzast
offline
  1. 3,9,18
  2. 3,10,15
  3. 3,12,12
  4. 4,5,20
  5. 4,6,12
  6. 4,8,8
  7. 5,5,10
  8. 6,6,6
pureg
Gość
pureg
offline

Po próbach rozwiązania tego analitycznie doszedłem do czegoś takiego.
Mamy równanie
2xz+2yz+2yz =xyz
Robimy sobie wykres rozwiązań dla całej przestrzeni i otrzymujemy takie
coś
Jak widać naszym punktem przegięcia jest 6,6,6, czyli nasz przykładowy sześcian. Teraz możemy zauważyć, że zwiększając jedną z krawędzi powyżej 6 jedna z pozostałych trzech krawędzi musi być krótsza niż 6.
Teraz badamy jak jest granica przekształcenia naszego pierwszego równania:
granica
Pozwoli nam to określić jaka jest najmniejsza długość krawędzi jaką może mieć nasz prostopadłościan aby osiągnąć dane założenie. Granica ta wynosi 2 więc najmniejszą liczbą całkowitą spełniająca nasz postulat jest 3. Zawęziliśmy sobie więc długość jednej z krawędzi do wartości {3,4,5,6}.Dodatkowo jeżeli jedna z krawędzi jest mniejsza niż 6 to jedna musi być większa od 6 aby spełnione było nasze pierwsze równanie. Dla cyfry 6 mamy już rozwiązanie w postaci trójki liczb 6,6,6, następnie sprawdzamy co otrzymamy dla krawędzi równej 5.
5yz=10y+10z+2yz
3yz=10y+10z
3yz-10y=10z
y(3z-10)=10z
y=10z/(3z-10)
Analizujemy teraz dla z=5 otrzymujemy:
y=50/(15-10)=10 Czyli otrzymujemy trójke (5,5,10)
Następnie z = 4
y=40/(20-10)=4 Jak widać trzecia krawędź jest mniejsza od 6 więc dalsze sprawdzanie dla z<4 nie ma sensu. Dodatkowo możemy zbadać funkcje y=10z/(3z-10) różniczkując ją po zmiennej z. Otrzymujemy coś takiego
monotoniczność
Jak widać badanie funkcji poniżej 4 nie ma sensu gdyż funkcja jest malejąca. Badamy dalej dla z=10 (najbliższa liczba która da nam wynik w postaci liczby całkowitej) pamiętając że wraz ze wzrostem z wartości funkcji rosną.
y=100/(30-10)=5
Analogicznie trzecia krawędź jest mniejsza od 6 więc przestajemy sprawdzać.
Dla pozostałych wartości x postępujemy podobnie. Ufff……

%d bloggers like this: