Redukujemy do trzech zer

Jeden z Czytelników blogu podesłał mi niedawno całkiem prościutką zagadkę matematyczną, którą dziś, z braku lepszego laku, zaprezentuję:

Otóż mamy pewną liczbę równą:

\(\displaystyle \frac{(5^{20} 2^5)^3}{5^{42} 2^k} 27^4 \)

Pytanie brzmi, ile wynosi k (naturalne) jeżeli powyższa liczba kończy się trzema zerami, ale nie czterema?

Postscriptum: właśnie zauważyłem, że rozjechała mi się wtyczka MathJax-LaTex – całkiem bez powodu. Biblioteki mam zainstalowane, konfliktów brak, a wtyczka nie działa i już. Powalczę w wolnej chwili, póki co przełączam się na obrzydliwą (ale działającą) wersję od JetPack.

16
Dodaj komentarz

avatar
Obrazki i zdjęcia
 
 
 
Filmy
 
 
 
Inne
 
 
 
3 Comment threads
13 Thread replies
4 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
4 Comment authors
puregxpilButterRzast Recent comment authors
  Subscribe  
Powiadom o
Rzast
Gość
Rzast
offline

O ile się nie mylę to:

Próba rozwiązania

dodatnie potęgi piątki kończą się na 5 , więc nie wnoszą żadnych zer do wyniku
podobnie 27
tylko 5 pomnożone przez 2 dodaje zera na końcu.
z tego wynika, że musimy pomnożyć wynik potęgowania piątek i dwudziestek siódemek przez 8 -> 2^3
w liczniku mamy 2^15, w mianowniku musimy mieć 2^12, żeby ostatecznie mieć 2^3
Czyli: Dla k=12 liczba kończy się dokładnie trzema zerami.

Butter
Gość
Butter
offline

excelowy brute force pokazuje k=17

Rzast
Gość
Rzast
offline

… czyli moja analiza o kant kuli potłuc 😉

pureg
Gość
pureg
offline

rozwiązanie?
skracamy potęgi w ułamku i zamieniamy 27^4 na 3^12, otrzymujemy 5^18*2^(15-k)*3^12.Wszystkie potęgi cyfry 5 kończą się na 5 natomiast 12 potęga 3 kończy się cyfrą 1. Czyli nie zmienia wyniku. Interesują nas trzy zera na końcu więc wyciągamy 1000 przed nawias zapisany w formie 5^3*2^3 otrzymujemy 5^2*2^2*5^16*2^(12-k)*3^12 teraz musimy zrobić z 2^(12-k) jedynkę, czyli k =12

Rzast
Gość
Rzast
offline

Ktoś już w podobny sposób rozwiązywał tutaj [Link] , ale wynik jest zgoła inny

Rzast
Gość
Rzast
offline

Panie Kierowniku xpil, linki się w komentarzach nie wyróżniają, Pan Kierownik pogrzebie w CSSie, dobrze?

pureg
Gość
pureg
offline

Myślę, że warto by było dodać jeszcze że NWW(5,3)=15 a 15 nie jest podzielne przez 10 bez reszty.