Platon, Fermat i Sierpiński

W matematyce połączenia między różnymi jej kawałkami bywają całkiem zaskakujące. Dziś pokażę co mają ze sobą wspólnego konstrukcje platońskie (czyli matematyka za pomocą wyłącznie cyrkla i liniału) oraz liczby Fermata i trójkąt Sierpińskiego.

Nie będzie zbyt trudno, obiecuję 😉

Zaczniemy od konstrukcji.

Konstrukcja platońska (zwana częściej klasyczną) polega na narysowaniu zadanego układu odcinków i kątów przy użyciu wyłącznie liniału oraz cyrkla, przy czym obydwa te narzędzia są wyidealizowane: cyrkiel jest niesprężysty (a więc rysuje idealne kółka) oraz ma punktowy rysik (rysowane kółka są faktycznie dwuwymiarowe), a także da się go rozewrzeć na dowolnie dużą (ale skończoną) odległość, natomiast linijka jest dowolnie długa, nie ma podziałki oraz ma tylko jedną krawędź.

Nawiasem mówiąc wykazano, że każdą konstrukcję platońską da się narysować bez użycia linijki (tj. samym cyrklem), o ile wystarczą nam same punkty bez łączących je odcinków. Ponadto jeżeli mamy do dyspozycji okrąg (lub nawet jego fragment, czyli łuk – dowolnie krótki) ze znanym środkiem, nie potrzebujemy w ogóle cyrkla. Ale to już całkiem inna historia.

Za pomocą tych dwóch narzędzi możemy w prosty sposób narysować dwa odcinki prostopadłe, a także skopiować długość odcinka. Możemy więc narysować kwadrat.

Trójkąt równoramienny też się da, prościutko. I równoboczny, a jakże.

A co z pięciokątem foremnym?

Też się da. Konstrukcja nie jest na pierwszy rzut oka oczywista, ale nie jest też specjalnie skomplikowana. Znane są co najmniej cztery różne sposoby na skonstruowanie pięciokąta foremnego.

A siedmiokąt?

Nie da się! Jak by człowiek nie kombinował, nie da rady klasycznie skonstruować siedmiokąta foremnego. Nie i już.

9-kąta, 11-kąta ani 14-kąta też się nie da.

Ogólna zasad mówi, że n-kąt foremny można skonstruować wyłącznie wtedy, gdy n da się przedstawić jako nieujemną potęgę dwójki przemnożoną przez iloczyn dowolnej liczby liczb pierwszych Fermata.

Liczb pierwszych Fermata znamy na dzień dzisiejszy zaledwie pięć: 3, 5, 17, 257 oraz 65537, co daje nam 31 różnych kombinacji ich iloczynów. Jeżeli weźmiemy do tego zerową potęgę dwójki (czyli 1), okaże się że znamy dziś tylko 31 wielokątów foremnych o nieparzystej liczbie boków, które da się skonstruować klasycznie. Największy ma prawie 4.3 mld boków. Natomiast największy, którego konstrukcję faktycznie wykonano, ma 65537 boków (konstrukcję opisano na 200 stronach i zajęło to autorowi około 10 lat).

No a gdzie Sierpiński, pytacie?

Okazuje się, że jeżeli zapiszemy te nieparzyste liczby boków jedna pod drugą w postaci binarnej, otrzymamy:

00000000000000000000000000000011
00000000000000000000000000000101
00000000000000000000000000001111
00000000000000000000000000010001
00000000000000000000000000110011
00000000000000000000000001010101
00000000000000000000000011111111
00000000000000000000000100000001
00000000000000000000001100000011
00000000000000000000010100000101
00000000000000000000111100001111
00000000000000000001000100010001
00000000000000000011001100110011
00000000000000000101010101010101
00000000000000001111111111111111
00000000000000010000000000000001
00000000000000110000000000000011
00000000000001010000000000000101
00000000000011110000000000001111
00000000000100010000000000010001
00000000001100110000000000110011
00000000010101010000000001010101
00000000111111110000000011111111
00000001000000010000000100000001
00000011000000110000001100000011
00000101000001010000010100000101
00001111000011110000111100001111
00010001000100010001000100010001
00110011001100110011001100110011
01010101010101010101010101010101
11111111111111111111111111111111

Nie widać?

No to wrzućmy to do Excela, rozbijmy na poszczególne kolumny i sformatujmy jedynki na czarno:

Magia, panie…

6
Dodaj komentarz

avatar
Obrazki i zdjęcia
 
 
 
Filmy
 
 
 
Inne
 
 
 
3 Comment threads
3 Thread replies
4 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
4 Comment authors
PharlapxpilButterRzast Recent comment authors
  Subscribe  
Powiadom o
Rzast
Gość
Rzast
offline

A jak za pomocą cyrkla i linijki narysować kwadrat o polu równym takiego wielokąta?
Nauka w minutę:

Mimo, że to z 9gag to czasem można trafić i na takie perełki 😉

Butter
Gość
Butter
offline

„n-kąt foremny można skonstruować wyłącznie wtedy, gdy n da się przedstawić jako nieujemną potęgę dwójki przemnożoną przez iloczyn dowolnej liczby liczb pierwszych Fermata.”
Zawsze mnie zastanawiało, jak ludzie wpadają na trop takich powiązań.

Pharlap
Gość
Pharlap
offline

Przepraszam, że nie na temat, i w ogóle na odwrót – reducjonizm, ale może zaciekawi.
Patrz tu ==> https://bloginglife2.blogspot.com/2017/06/geometryczna-gimnastyka.html