Błędna formuła

Dziś znów o Pi. Liczba niewymierna, stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy. Wiadomo.

Nieco mniej powszechną wiedzą jest fakt, że \(\pi\) da się przedstawić w postaci nieskończonej sumy, na przykład takiej:

\(\pi = 4 (1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{9} – \cdots)\)

… albo takiej:

\(\pi = \sqrt{6(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots)}\)

Tego typu rozwinięć nieskończonych, które dają w wyniku \(\pi\) jest całe mnóstwo. Dziś jednak przyjrzymy się prawdziwej perełce:

\((\frac{1}{10^5} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}e^\frac{-n^2}{10^{10}})^2\)

Jeżeli uczciwie wyznaczymy wartość powyższego wyrażenia (uczciwie, czyli faktycznie od minus do plus nieskończoności, podzielimy przez sto tysięcy i podniesiemy do kwadratu), dostaniemy na wyjściu liczbę zaczynającą się od:

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196
44288109756659334461284756482337867831652712019091
45648566923460348610454326648213393607260249141273
72458700660631558817488152092096282925409171536436
78925903600113305305488204665213841469519415116094
33057270365759591953092186117381932611793105118548
07446237996274956735188575272489122793818301194912
98336733624406566430860213949463952247371907021798
60943702770539217176293176752384674818467669405132
00056812714526356082778577134275778960917363717872
14684409012249534301465495853710507922796892589235
42019956112129021960864034418159813629774771309960
51870721134999999837297804995105973173281609631859
50244594553469083026425223082533446850352619311881
71010003137838752886587533208381420617177669147303
59825349042875546873115956286388235378759375195778
18577805321712268066130019278766111959092164201989

Jest to o wiele więcej cyfr dziesiętnych \(\pi\), niż moglibyśmy potrzebować do jakichkolwiek praktycznych obliczeń (więcej na ten temat tutaj: !klik!), na przykład do wyliczenia obwodu Wszechświata z błędem nieprzekraczającym długości Plancka.

Czy powyższa formuła daje więc w wyniku \(\pi\)?

Otóż – nie.

Rozbieżność pojawia się jednak dopiero gdzieś między 42 a 43 miliardami miejsc po przecinku!

(dokładniej rzecz ujmując wynik jest zgodny z \(\pi\) do 42863147299 miejsca po przecinku, błąd pojawia się na 42863147300 miejscu)

Jest to zjawisko dość niezwykłe. Względnie proste wyrażenie, którego wartość jest tak bliska \(\pi\), to zdumiewająca sprawa.

Chyba nauczę się tej formuły na pamięć i będę nią szpanował na zlotach kujonów 😉

Jeżeli kogoś powyższy temat zainteresował bardziej, niż jako zwykła ciekawostka, tutaj link do szczegółowych rozważań, gdzie można poczytać o tym, jak za pomocą logarytmów wyznaczać ilości miejsc po przecinku różnych wyrażeń, o pewnej funkcji theta, a także nauczyć się tworzyć formuły generujące \(\pi\) z dowolną, zadaną dokładnością: https://academics.rowan.edu/csm/departments/math/facultystaff/faculty/osler/Billions_pi_digits.pdf

1
Dodaj komentarz

avatar
1 Comment threads
0 Thread replies
1 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
1 Comment authors
Toni Recent comment authors
  Subscribe  
najnowszy najstarszy oceniany
Powiadom o
Toni
Gość

Przeczytałem z ciekawości z góry wiedząc, że to nie temat dla mnie.
Mówiąc szczerze nie mam pojęcia jak ja skończyłem swoje szkoły 😁
Do dziś nie umiem całej tabliczki mnożenia.
Chyba szczęściarz ze mnie.😉

Ludzi którzy mają do tego głowę z całego swego umysłu podziwiam.
W poprzedniej pracy miałem kolegę, później był moim szefem, który obliczał w głowie tangensy i cotangensy.

%d bloggers like this: