Jeden z Czytelników blogu podesłał mi niedawno całkiem prościutką zagadkę matematyczną, którą dziś, z braku lepszego laku, zaprezentuję:
Otóż mamy pewną liczbę równą:
\(\displaystyle \frac{(5^{20} 2^5)^3}{5^{42} 2^k} 27^4 \)Pytanie brzmi, ile wynosi k (naturalne) jeżeli powyższa liczba kończy się trzema zerami, ale nie czterema?
Postscriptum: właśnie zauważyłem, że rozjechała mi się wtyczka MathJax-LaTex - całkiem bez powodu. Biblioteki mam zainstalowane, konfliktów brak, a wtyczka nie działa i już. Powalczę w wolnej chwili, póki co przełączam się na obrzydliwą (ale działającą) wersję od JetPack.
O ile się nie mylę to:
[spoiler title=”Próba rozwiązania”]
dodatnie potęgi piątki kończą się na 5 , więc nie wnoszą żadnych zer do wyniku
podobnie 27
tylko 5 pomnożone przez 2 dodaje zera na końcu.
z tego wynika, że musimy pomnożyć wynik potęgowania piątek i dwudziestek siódemek przez 8 -> 2^3
w liczniku mamy 2^15, w mianowniku musimy mieć 2^12, żeby ostatecznie mieć 2^3
Czyli: Dla k=12 liczba kończy się dokładnie trzema zerami.
[/spoiler]
excelowy brute force pokazuje k=17
… czyli moja analiza o kant kuli potłuc 😉
Nie do końca. Poczekajmy co jeszcze ludki tu wrzucą w komentarzach.
[spoiler title=”rozwiązanie? “]skracamy potęgi w ułamku i zamieniamy 27^4 na 3^12, otrzymujemy 5^18*2^(15-k)*3^12.Wszystkie potęgi cyfry 5 kończą się na 5 natomiast 12 potęga 3 kończy się cyfrą 1. Czyli nie zmienia wyniku. Interesują nas trzy zera na końcu więc wyciągamy 1000 przed nawias zapisany w formie 5^3*2^3 otrzymujemy 5^2*2^2*5^16*2^(12-k)*3^12 teraz musimy zrobić z 2^(12-k) jedynkę, czyli k =12[/spoiler]
Ktoś już w podobny sposób rozwiązywał tutaj [Link] , ale wynik jest zgoła inny
Panie Kierowniku xpil, linki się w komentarzach nie wyróżniają, Pan Kierownik pogrzebie w CSSie, dobrze?
Dzięki – już grzebłem, powinno być ok.
Jak na razie dwóch Czytelników obstawia k=12 (analitycznie) a jednemu z brute-force wyszło k=17. Czyli średnia w okolicach trzynaście i pół 😉
Niemniej podstawienie k=12 daje oidp 5 zer, a 17 tylko 3
[spoiler title=” dokładne liczby”]
Dla k=17 mamy 506 821 632 385 254 000
dla k=12 to jest 16 218 292 236 328 100 000
[/spoiler]
Dla k=12 masz nieprawidłowo policzone cyfry w przedostatniej grupie. Obstawiam zaokrąglenia.
Dla k = 12 wynik na obrazku. Nie wiem czy excel to najlepszy program do obliczania przy tak dużych liczbach.
A ja wiem: nie jest. Ludzie wierzą w excelowe wyniki, a nie pamiętają o tym, że Excel liczy tylko do pewnej granicznej dokładności.
To akurat wpisywałem do Google Spreadsheets – ale, jak widać, też ma Excelopodobne ograniczenia
Myślę, że warto by było dodać jeszcze że NWW(5,3)=15 a 15 nie jest podzielne przez 10 bez reszty.
Otóż to