Ślimaki: rozwiązanie zagadki

Niedawno poczęstowałem P.T. Czytelników blogu zagadką o ślimakach startujących z wierzchołków sześciokąta foremnego. Celem zagadki było ustalenie odległości, jaką ślimaki przebędą od startu do spotkania się w środku sześciokąta przy założeniu, że każdy ślimak śledzi swojego lewego sąsiada z jednakową prędkością, i że wszystkie wystartowały w tym samym momencie.

Zagadka na pierwszy rzut oka wydaje się dość skomplikowana. Ślimaki poruszają się po krzywej będącej spiralą, a gotowego wzoru na długość spirali raczej nie ma. Ki czort?

Czytelników napalonych na całki po krzywej muszę teraz srodze rozczarować 😉 [1]

Okazuje się, że w tym konkretnym przypadku zagadnienie da się ugryźć za pomocą starej, dobrej logiki, bez używania żadnych wybitnie zaawansowanych technik obliczeniowych.

Najpierw zauważamy (a właściwie czytamy o tym w treści oryginalnej zagadki), że każdy ze ślimaków będzie poruszał się po takiej samej krzywej, a więc ustawienie (czyli kąt + prędkość pościgu) każdej pary ślimaków będą zawsze takie same – do końca podróży ślimaki będą znajdować się na wierzchołkach zmniejszającego się i leniwie obracającego sześciokąta foremnego.

Przyjrzyjmy się teraz dwóm ślimakom (więcej nie potrzeba). Goniącego nazwijmy S1 a uciekającego – S2.

Jeżeli S1 i S2 poruszałyby się wzdłuż tej samej prostej, nie dogoniłyby się do końca świata, ponieważ ich prędkości liniowe są takie same. Wędrowałyby aż by padły z głodu albo dorwałby je głodny yaszczomp.

Ponieważ jednak S2 ucieka od S1 pod kątem 60°, jego prędkość względem S1 możemy rozłożyć na dwie składowe: wzdłuż i w poprzek (innymi słowy: jedna składowa w kierunku poruszania się S1 oraz druga – doń prostopadła).

Pierwsza składowa mówi nam jak szybko S2 usieka od S1. Drugą można pominąć, ponieważ – jako prostopadła do kierunku pościgu – nie wpływa na tempo ucieczki.

Przypominam, że powyższe kąty się nie zmieniają przez cały czas wędrówki obydwu ślimaków.

Z powyższego obrazka oraz prostej trygonometrii widać, że składowa „ucieczkowa” ślimaka S2 wynosi \(cos(60°) = \frac{1}{2}\) [2]

A skoro ucieka on z połową prędkości goniącego to znaczy, że goniący będzie potrzebował dwa razy więcej czasu (tudzież drogi), niż gdyby S2 stał w miejscu.

Czyli zamiast jednego metra goniący potrzebuje dwóch metrów i to jest odpowiedź na zagadkę.

Jeżeli rozwiązanie do Ciebie nie przemawia, spróbuj na chwilę zastąpić sześciokąt – kwadratem. Tu kąt między ścigającym a uciekającym wynosi 90°, cosinus 90° (składowa „ucieczkowa”) to 0, czyli drugi ślimak tak naprawdę nie ucieka, bo porusza się zawsze prostopadle do stale zakręcającego pierwszego.

W przypadku trójkąta równobocznego kąt ten wynosi 120°, a cosinus 120° to -0.5, czyli ślimak drugi wręcz „pomaga” pierwszemu się dogonić, co zresztą widać nawet intuicyjnie.

Zgadza się?

No ba!

Przypisy:

[1]: w komentarzach pod zagadką można znaleźć link do rozwiązania opartego na całkowaniu po krzywej biegunowej – miło wiedzieć, że zaglądają na mój blog giganci, którzy rozumieją te zagadnienia lepiej ode mnie!

[2]: Również w komentarzach do oryginalnej zagadki można znaleźć prostą symulację napisaną w JS, która pokazuje dokładną trajektorię ślimaków, a do tego objaśnienie trygonometryczne – identyczne z moim tutaj. Czapki z głów.

Dodaj komentarz

avatar
Obrazki i zdjęcia
 
 
 
Filmy
 
 
 
Inne
 
 
 
  Subscribe  
Powiadom o
%d bloggers like this: