Jeszcze jedna zagadka liczbowa: rozwiązanie

Dla geeków matematycznych: wpis o liczbach Friedmana.

Licealistów czasem torturuje się zadaniem polegającym na zapisaniu każdej liczby całkowitej od 0 do 100 za pomocą czterech czwórek oraz kilku operatorów matematycznych (dodawanie, odejmowanie, dzielenie, mnożenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, silnia, nawiasy).

Zadanie jest całkiem niegłupio pomyślane; jeżeli ktoś ma szczyptę matematycznego pomyślunku, poradzi sobie z nim w trymiga. A jeżeli takowego nie posiada, to ściągnie od tego pierwszego i też będzie dobrze 😉

A teraz spróbujmy sobie postawić zadanie nieco trudniejsze: znajdźmy taką liczbę, z której cyfr da się uzyskać nią samą po wstawieniu między jej cyfry jednego z pięciu operatorów: + (plus), – (minus), * (mnożenie), / (dzielenie), ^ (potęgowanie). Dodatkowo można używać nawiasów, ale niczego poza tym. Żadnych pierwiastków, przecinków dziesiętnych, silni, zaokrągleń i tak dalej.

Nieco (ale tylko odrobinę) ułatwia sprawę przestawianie cyfr – nie muszą one występować w oryginalnej kolejności.

Cyfry można też łączyć, ale – z oczywistych względów – nie wszystkie na raz 😉 A więc na przykład 997246=94*(96+7)^2

Najmniejszą taką liczbą jest 25=5^2.

Następną po 25 jest dopiero 121=11^2, potem kolejno 125=5^(1+2), 126=21*6, 127=2^7-1 i 128=2^(8-1), potem dopiero 153=51*3, 216=6^(1+2) i tak dalej. Poniżej tysiąca jest takich liczb tylko czternaście. Największa z nich to 736=7+3^6; kolejna ma już cztery cyfry: 1022=2^10-2

I tu docieramy do rozwiązania naszej bezsensownej zagadki sprzed kilku dni

Jeszcze jedna zagadka liczbowa

Podane tam przeze mnie liczby to właśnie opisane powyżej liczby Friedmana:

\(6455=5×(6^4-5)\\
11025=105^{2×1}\\
17892=71×28×9\\
32778=7+3+2^{8+7}\\
63478=4^8-7^3×6\\
107654=7^6-10^4+5\\
125036=6^2+(10×5)^3\\
162759=\frac{5^9-17}{6×2}\\
168399=(8-\frac{1-6}{9})×3^9\\\)

Tę ostatnią sprawdzałem dwa razy, bo coś mi tu nie pasowało: przecież w nawiasie wychodzi ułamek, w dodatku nieskończony! Ale wszystko się zgadza, 8.(5) przemnożone przez 19683 daje dokładnie 168399.

A czy da się znaleźć liczbę Friedmana, która będzie zawierała każdą cyfrę dokładnie jeden raz?

Da się! Okazuje się, że jest ich wcale niemało, bo aż 29. Najmniejsza to:

\(1026753849=(30249–6)^{7–5}×1^8\\\)

Zaś największa:

\(8326197504=91248^{5–3}+0×67\\\)

Niektórym to się naprawdę nudzi…

Okazuje się jednak, że tego zajoba można ciągnąć dalej: skoro w ramach poprawiania bezpieczeństwa w niektórych krajach zabrania się używania groźnych cyfr arabskich, przejdźmy na cyfry rzymskie:

\(LXXXIX = X × (X – I^L) – \frac{X}{X}\\
XCIX = C – I^{XX}\\\)

A po co?

Jak zwykle: bo się da 😉

Autor: xpil

Po czterdziestce. Żonaty. Dzieciaty. Komputerowiec. Krwiodawca. Emigrant. Rusofil. Lemofil. Sarkastyczny. Uparty. Mól książkowy. Ateista. Apolityczny. Nie oglądam TV. Uwielbiam matematykę. Walę prosto z mostu. Gram na paru instrumentach. Lubię planszówki. Słucham bluesa, poezji śpiewanej i kapel a’capella. || Kliknij tutaj po więcej szczegółów ||

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!

Powiadom o
avatar
wpDiscuz