Kwadratowe koce: rozwiązanie zagadki

Postawiona niedawno zagadka o kwadratowych kocykach nie jest wcale taka trudna. Wystarczy odrobina skupienia. Krzysiek podał już poprawne rozwiązanie w komentarzu; zobaczmy teraz jak można dojść do tego wyniku:

Pojedynczy kwadrat 4×4 składa się z szesnastu małych kwadracików. Jeżeli jego górny lewy narożnik jest w kolorze X, prawdopodobieństwo, że pozostałych 15 kwadracików ma ten sam kolor wynosi \((1/3)^{15}\), a więc prawdopodobieństwo, że tak nie jest wynosi \(1-(1/3)^{15}\).

Takich kwadratów 4×4 jest na całym kocyku 97×97=9409. Żeby kocyk przeszedł kontrolę, żaden z tych 9409 kwadratów nie może być w całości wykonany z tego samego koloru, a więc należy prawdopodobieństwo wyliczone w poprzednim akapicie przemnożyć przez siebie 9409 razy: \((1-(1/3)^{15})^{9409}\).

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, a więc takiego, że przynajmniej jeden z kwadratów 4×4 będzie wykonany w tym samym kolorze, wynosi zatem: \(1-((1-(1/3)^{15})^{9409})\).

Po wrzuceniu powyższego wyrażenia w Wolfram Alpha otrzymamy:

0.000655514466914948168851606215627631627995142626904364838…

… czyli jakieś 0.066%.

Innymi słowy do odrzutu trafi średnio sześć do siedmiu kocyków na każde dziesięć tysięcy.

Nie tak źle.

16
Dodaj komentarz

avatar
Obrazki i zdjęcia
 
 
 
Filmy
 
 
 
Inne
 
 
 
2 Wątki komentarzy
14 Thread replies
4 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
3 Comment authors
DariuszHokoxpilxpil Recent comment authors
  Zapisz się  
Powiadom o
Hoko
Gość
Hoko
offline

Proszę o szczegółowe obliczenia dla danych z drugiego akapitu 😉

Dariusz
Gość
Dariusz
offline

Mógłbyś wydziergać powerszelem czy czymś takim kilka takich kocyków jako ilustrację wpisu?
A jakie jest prawdopodobieństwo idealnie równomiernego rozłożenia kolorów?
Kolejne pytania wkrótce.