Kwadratowe koce: rozwiązanie zagadki

Postawiona niedawno zagadka o kwadratowych kocykach nie jest wcale taka trudna. Wystarczy odrobina skupienia. Krzysiek podał już poprawne rozwiązanie w komentarzu; zobaczmy teraz jak można dojść do tego wyniku:

Pojedynczy kwadrat 4x4 składa się z szesnastu małych kwadracików. Jeżeli jego górny lewy narożnik jest w kolorze X, prawdopodobieństwo, że pozostałych 15 kwadracików ma ten sam kolor wynosi \((1/3)^{15}\), a więc prawdopodobieństwo, że tak nie jest wynosi \(1-(1/3)^{15}\).

Takich kwadratów 4x4 jest na całym kocyku 97x97=9409. Żeby kocyk przeszedł kontrolę, żaden z tych 9409 kwadratów nie może być w całości wykonany z tego samego koloru, a więc należy prawdopodobieństwo wyliczone w poprzednim akapicie przemnożyć przez siebie 9409 razy: \((1-(1/3)^{15})^{9409}\).

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, a więc takiego, że przynajmniej jeden z kwadratów 4x4 będzie wykonany w tym samym kolorze, wynosi zatem: \(1-((1-(1/3)^{15})^{9409})\).

Po wrzuceniu powyższego wyrażenia w Wolfram Alpha otrzymamy:

0.000655514466914948168851606215627631627995142626904364838…

... czyli jakieś 0.066%.

Innymi słowy do odrzutu trafi średnio sześć do siedmiu kocyków na każde dziesięć tysięcy.

Nie tak źle.

16 komentarzy

        1. No więc tak: cztery razy cztery jest szesnaście, bo jak się czwórkę do siebie doda cztery razy to wychodzi szesnaście. A dalej to już prosto…

          1. Niech będzie, że prosto, zakładasz widać, że zaglądają tu jeno osoby, które pamiętają coś z lekcji matematyki. Mniejsza.

            O co innego mnie biega. To jest, jak rozumiem, prawdopodobieństwo dla kolejnego pojawienia się szesnastu takich samych kolorów. Czy zatem kocyk jest robiony nie ciągiem, ale czwórkami, które potem są zszywane?

            1. Technika / kolejność łączenia poszczególnych kwadratów nie ma tu znaczenia:

              “każdy z kolorów ma dokładnie 33.(3)% szansy pojawienia się na każdym z 10000 kwadracików każdego kocyka.”

              Czyli wszystkie pojedyncze kwadraciki są od siebie niezależne. Maszyna może je zszywać liniowo czy po kwadratach czy kurna po trójkątach nawet, wsioryba.

              Pytanie jest o prawdopodobieństwo pojawienia się co najmniej jednego kwadratu 4×4 w jednolitym kolorze, na całym kocu 100×100.

              1. Ale jeśli pojedyncze kwadraciki będą zszywane liniowo, to sekwencja 16x pojawi się dla linii, a nie dla kwadratu. Dla kwadratu trzeba szukać prawdopodobieństwa dla ciągu, w którym czterokrotnie pojawiają się ciągi 4x oddzielone dowolną sekwencją o określonej długości.

                1. Powtórzę raz jeszcze: ponieważ kolor każdego kwadracika jest losowany niezależnie od każdego innego, nie ma znaczenia w jakiej kolejności kwadraciki są łączone. Jedyne, co ma znaczenie, to ilość kwadracików w grupie (w tym przypadku: 16) oraz ilość grup (tutaj: 47×47). Aha, no i ilość kolorów oczywiście (tu: 3). Istnieje bardzo podobna zagadka, w której pytanie brzmi ile potrzeba różnych kolorów, żeby prawdopodobieństwo, że wśród miliona kocyków nie będzie ani jednego do odrzutu, wynosiło mniej niż 1%. Ale to już nieco wyższa matematyka, której kompletnie nie łapię. (odpowiedź brzmi bodajże 6 albo 7)

                  1. Dobra, chyba doszedłem, w czym rzecz. Tu nie idzie o żadną konkretną grupę, figurę itp., ale o prawdopodobieństwo tego, że szesnaście wyznaczonych z góry kwadratów będzie miało ten sam kolor. Czy one będą koło siebie, czy będą rozrzucone – nie ma znaczenia.

                    1. Z tym “nie ma znaczenia” to trzeba ostrożnie. Jeżeli zamiast kwadratów 4×4 wybierzesz jakiś inny kształt, to ilość możliwych aranżacji danego kształtu na kocu 100×100 będzie prawdopodobnie inna niż 97×97. Przykładowo linię długą na 16 kwadracików (czyli prostokąt 1 x 16) możesz na kocu 100×100 ułożyć na 17000 różnych sposobów (8500 w pionie i 8500 w poziomie), czyli prawdopodobieństwo porażki (trafienia na linię 16 kwadracików o tym samym kolorze) zwiększy się, a tym samym więcej kocyków pójdzie do wyrzucenia (średnio około 12 koców na 10K będzie miało linię 16 kwadracików w jednym kolorze).

                    2. Jasne, ale mnie szło tylko o pierwszą część, czy prawdopodobieństwo szesnastu kwadratów w tym samym kolorze. Przy innym kształcie, a właściwie obrysie kształtu, bo kwadraty nie muszą się łączyć, inne obliczenia będą dla całości.

  1. Mógłbyś wydziergać powerszelem czy czymś takim kilka takich kocyków jako ilustrację wpisu?
    A jakie jest prawdopodobieństwo idealnie równomiernego rozłożenia kolorów?
    Kolejne pytania wkrótce.

    1. Idealnie równomiernego czyli? Najpierw same A, potem same B, a na koniec same C? Czy wszystko tylko A? Czy trójka ABC powtórzona 33 razy? Czy może żeby łączna ilość kwadracików w każdym kolorze była możliwie taka sama dla każdego koloru?

        1. Czyli szukasz prawdopodobieństwa jednego, konkretnego ustawienia wszystkich 10K kwadracików. Czyli (1/3)^10000 = 6.13 * 10^(-4772). Można przyjąć takie prawdopodobieństwo za zerowe, nawet jeżeli dopuścisz bcabcabca… oraz cabcabcab…

Leave a Comment

Komentarze mile widziane.

Jeżeli chcesz do komentarza wstawić kod, użyj składni:
[code]
tutaj wstaw swój kod
[/code]