Paradoks Bertranda

Rozwiązywanie zagadek logicznych zawsze dawało mi mnóstwo radości. Można trochę ponaprężać mózguły (jak zwykłem nazywać szare komórki, czyli „muskuły mózgu”) no i to uczucie satysfakcji płynące z poprawnego rozwiązania.

Czasem jednak trafiamy na zagadki, które mają – paradoksalnie – kilka wykluczających się wzajemnie, POPRAWNYCH odpowiedzi.

Rzucimy dziś okiem na jedną z nich.

Wyobraźmy sobie okrąg o promieniu długości 1.

Losujemy teraz cięciwę tego okręgu.

Pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że długość tej cięciwy jest większa od długości boku trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?

Okazuje się, że w zależności od tego, jak „zmierzymy” prawdopodobieństwa pojawiania się poszczególnych cięciw, dostaniemy trzy różne odpowiedzi, a żadnej nie można zarzucić błędu.

Metoda 1: przesuwamy (i obracamy) wylosowaną cięciwę w taki sposób, żeby jeden z jej końców pokrywał się z wierzchołkiem trójkąta równobocznego. Jeżeli drugi koniec cięciwy znajdzie się na odcinku pomiędzy dwoma przeciwległymi wierzchołkami trójkąta, jej długość będzie większa od długości boku trójkąta. Ponieważ odcinek pomiędzy wierzchołkami stanowi 1/3 długości okręgu, tyle też wynosi prawdopodobieństwo, że cięciwa będzie dłuższa od boku trójkąta.

Metoda 2: losujemy wewnątrz okręgu punkt dzielący cięciwę na pół. Żeby ta cięciwa była dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg, wylosowany punkt musi znajdować się wewnątrz mniejszego okręgu o promieniu równym 1/2. Pole tego mniejszego okręgu wynosi 1/4 okręgu zewnętrznego, tyle więc wynosi prawdopodobieństwo wylosowania „dłuższej” cięciwy.

Metoda 3: podobnie jak w metodzie 2, losujemy punkt wewnątrz okręgu dzielący cięciwę na dwie jednakowe części. Jeżeli punkt ten znajdzie się w odległości mniejszej, niż połowa promienia, cięciwa będzie wystarczająco długa. A więc prawdopodobieństwo wynosi 1/2.

Trzy różne metody, każda poprawna, a trzy różne wyniki.

Hmmm.

Jak więc sobie z taką zagadką poradzić?

Podejście numer 1: wykonać fizyczne doświadczenie losowania cięciw okręgu i po prostu zmierzyć wyniki linijką. Ale tu wracamy do punktu wyjścia, bo losowanie cięciw w świecie fizycznym może również odbywać się na wiele sposobów. Można rzucać słomki z dużej wysokości, albo ustawić w środku obracającą się lampkę wskazującą na konkretny punkt na okręgu i tak dalej. W zależności od wyboru metody, znów dostaniemy różne wyniki.

Może więc podejście 2: najpierw losujemy – z rozkładem równomiernym – metodę losowania cięciwy, a potem za pomocą tej metody losujemy cięciwę. Po odpowiednio dużej ilości powtórzeń powinniśmy dojść do jakiejś konkretnej wartości. Tylko że metod na wylosowanie cięciwy jest o wiele więcej, niż te trzy tu opisane, więc w zależności od tego, które uwzględnimy, dostaniemy różne wyniki.

Podejście 3: ustalić jedną konkretną metodę i rozwiązać zadanie dla tej metody. Tylko którą wybrać?

Jak na razie rozwiązania paradoksu Bertranda nie ma – i nie zapowiada się, żeby został on kiedykolwiek rozwiązany… Wszystko bowiem grzęźnie w warstwie językowej, kiedy mówimy o „losowaniu cięciwy”.

Ot, dziwny świat.

Autor: xpil

Po czterdziestce. Żonaty. Dzieciaty. Komputerowiec. Krwiodawca. Emigrant. Rusofil. Lemofil. Sarkastyczny. Uparty. Mól książkowy. Ateista. Apolityczny. Nie oglądam TV. Uwielbiam matematykę. Walę prosto z mostu. Gram na paru instrumentach. Lubię planszówki. Słucham bluesa, poezji śpiewanej i kapel a’capella. || Kliknij tutaj po więcej szczegółów ||

Dodaj komentarz

2 komentarzy do "Paradoks Bertranda"

Powiadom o
avatar
Sortuj wg:   najnowszy | najstarszy | oceniany
Jaro
Gość

Moje rozwiązanie brzmi: Prawdopodobieństwo=P(trójkąta równobocznego wpisanego)+P(wycinka koła o podstawie trójkąta równobocznego wpisanego)/P(koła) gdzie P-pole. Ściślej rzecz biorąc to prawdopodobieństwo nie jest równe stosunkowi tych pól lecz dąży do tej wartości

Jaro
Gość

Mała korekta:
Prawdopodobieństwo=[P(trójkąta równobocznego wpisanego)+P(wycinka koła o podstawie trójkąta równobocznego wpisanego)]/P(koła) gdzie P-pole

wpDiscuz