Funkcja Weierstrassa

https://xpil.eu/RPqXO 📋

Jak co poniektórzy może jeszcze pamiętają z lekcji matematyki, zwykle jest tak, że jak funkcja jest ciągła w jakimś punkcie, jest również w tym punkcie różniczkowalna.

Co to oznacza?

Na chłopski rozum, oznacza to, że w dostatecznie bliskim otoczeniu tego punktu wykres tej funkcji zbliża się monotonicznie do wartości funkcji w tym punkcie.

Jeszcze bardziej po chłopsku?

To znaczy, że wykres funkcji w bardzo bliskiej okolicy danego punktu jest "gładki", czyli nie ma żadnych skoków, górek ani dolinek. "Łagodnie" zbliża się do tego punktu.

No dobra, wyjaśniłem (jako-tako) pojęcie monotoniczności / różniczkowalności, ale dlaczego ciągła?

Definicji ciągłości jest kilka, niektóre bardziej intuicyjne, niektóre mniej. Na chłopski rozum, funkcja jest ciągła jeżeli jej wykres da się narysować bez odrywania ołówka od papieru. Ale ołówki są dobre dla przedszkolaków, natomiast bardziej formalna definicja (w ujęciu Cauchy'ego) mówi, że funkcja jest ciągła, jeżeli dla każdej dodatniej (dowolnie małej) wartości ypsilon można znaleźć taką wartość delta, że jeżeli różnica między dwoma argumentami funkcji jest mniejsza niż delta, to różnica między wartościami tej funkcji dla tych dwóch argumentów jest mniejsza od ypsilon.

Ja wiem, że dla niektórych powyższy akapit może brzmieć jak bełkot, ale ponieważ cały ten blog brzmi jak jeden wielki bełkot, nikt się raczej nie powinien zorientować.

To była jednak tylko taka gra przedwstępna.

Przejdźmy teraz do samego gęstego, czyli spróbujmy sobie odpowiedzieć na pytanie: czy istnieje taka funkcja, która jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny, a jednocześnie nie jest różniczkowalna w żadnym jej punkcie?

Intuicja mówi, że nie. No bo przecież skoro jest ciągła, to musi być różniczkowalna, prawda?

No właśnie okazuje się, że nieprawda 🙂

Co więcej, funkcji wszędzie-ciągłych a nigdzie-nie-różniczkowalnych jest nieskończenie wiele. Weźmy najbardziej znany przykład, zaproponowany przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa pod koniec dziewiętnastego wieku:

\(f(x)=\sum_{n=0}^\infty {0.5}^n\sin(2^n x)\)

Jak widać, wykonujemy tutaj sumowanie nieskończenie wielu sinusoid, z których każda następna ma amplitudę o połowę mniejszą od poprzedniej, za to dwa razy większą częstotliwość.

Skąd jednak wiadomo, że taka funkcja jest ciągła?

Po pierwsze, wiemy na pewno, że suma dwóch dowolnych funkcji ciągłych daje w wyniku fukcję ciągłą. Dowód tego lematu wykracza poza ramy dzisiejszego wpisu (czytaj: nie chce mi się), jednak jest on banalnie prosty i można go sobie wyguglać w trymiga.

Po drugie, funkcja Weierstrassa to nic innego jak suma sinusoid, z których każda jest przecież ciągła.

Z tego widać, że nasza funkcja faktycznie jest ciągła.

A skąd wiadomo, że funkcja ta jest nieróżniczkowalna?

Otóż stąd, że w dowolnym jej punkcie dla dowolnie małego ypsilon, na wykresie zawsze znajdą się górki i doliny. Możemy przybliżać sobie wykres tej funkcji w nieskończoność i nigdy nie dotrzemy do miejsca, w którym wykres ten będzie "gładki". Mówiąc bardziej formalnie, między dwoma dowolnie blisko siebie położnymi punktami wykresu zawsze znajdzie się nieskończenie wiele fragmentów biegnących "pod górkę" i tyle samo "z górki".

Fascynujące, nieprawdaż?

https://xpil.eu/RPqXO 📋