iccanobiF

Czym dłużej prowadzę ten blog tym większego przekonania nabieram, że ciąg Fibonacciego jest nieskończenie wielkim źródłem pomysłów na kolejne wpisy. I wcale nie dlatego, że jest nieskończenie długi. Wiele ciągów jest nieskończenie długich. Nawet ciąg wszystkich nieskończenie długich ciągów jest nieskończenie długi. Ten jednak ma potencjał o wiele większy niż cała konkurencja razem wzięta.

Jak wyliczać kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego – każdy wie. Są metody proste, są bardziej skomplikowane (za to szybsze). Nudy.

Dziś weźmiemy na warsztat zagadnienie odwrotne: mamy jakąś wielką liczbę i chcemy sprawdzić, czy należy ona do ciągu Fibonacciego czy też nie.

Jak to zrobić?

Najprościej byłoby wyliczyć wszystkie elementy ciągu aż do zadanej liczby. Ale jeżeli mamy do sprawdzenia liczbę naprawdę dużą, na przykład pięćdziesięcio- albo stucyfrową, wówczas zagadnienie robi się nieco kłopotliwe.

Czy można jakoś prościej?

Okazuje się, że można. O wiele prościej.

Jak, pytacie?

Nie pytacie? Trudno, i tak Wam powiem.

Tak oto:

  1. Bierzemy liczbę do sprawdzenia
  2. Podnosimy ją do kwadratu
  3. Kwadrat mnożymy przez pięć
  4. Od wyniku powyższego mnożenia odejmujemy cztery.
  5. Z wyniku powyższego odejmowania wyciągamy pierwiastek.
  6. Jeżeli w poprzednim kroku otrzymaliśmy liczbę całkowitą to znaczy, że nasza początkowa liczba jest liczbą Fibonacciego.
  7. Jeżeli w kroku 5 otrzymaliśmy ułamek, wówczas wracamy do kroku 4 i zamiast odejmować – dodajemy cztery, następnie z wyniku dodawania wyciągamy pierwiastek
  8. Jeżeli otrzymaliśmy liczbę całkowitą, wówczas nasza liczba początkowa jest liczbą Fibonacciego. W przeciwnym razie – nie jest nią.

W skrócie: jeżeli któraś z liczb \(5n^2 \pm 4\) jest kwadratem liczby całkowitej, wówczas n jest liczbą Fibonacciego.

A którą z kolei?

Tu już musimy odwołać się do logarytmów:

  1. Liczymy logarytm (dziesiętny, wszystkie logarytmy tu użyte są dziesiętne) z piątki, mnożymy go przez 0.5.
  2. Do wyniku dodajemy logarytm z naszej liczby Fibonacciego.
  3. Wynik powyższego dodawania dzielimy przez logarytm z \(\phi\)
  4. To, co otrzymaliśmy, zaokrąglamy do najbliższej całości.
  5. Wynik zaokrąglenia to numer kolejny naszej liczby Fibonacciego.

Magia, panie…

Dodaj komentarz

avatar
  Subscribe  
Powiadom o