Pizza, roboty i cięciwy. Zagadka matematyczna.

Dziś zagadka niebanalna. Prawdopodobnie nie obejdzie się bez kartki i ołówka.

W pizzerii Automateusz & Przyjaciele cięciem pizzy na kawałki zajmują się roboty.

Przed pocięciem pizzy robot musi tylko wiedzieć ile cięć ma wykonać. Dajmy na to, N cięć.

Następnie losuje na obwodzie pizzy 2N punktów (z rozkładem równomiernym), potem z tych 2N losuje N par i tnie po cięciwach.

Dzwonisz do Automateusza i prosisz o pizzę z trzema cięciami.

Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba kawałków, na które robot potnie Twoją pizzę?

Nagród nie przewiduję 😉

16 komentarzy

      1. No to tak jak napisał przedmówca, średnio wyjdzie pięć. A właściwie 4,999… bo w jednym przypadku istnieje zbieżne do zera prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy linie przetną się w jednym punkcie. Policzyć to nietrudno, więc nie będę spoilerować.

        1. Nie muszą się przecinać w jednym punkcie, żeby było sześć kawałków. Zaznacz sześć punktów na okręgu, ponumeruj po kolei i połącz tak: 1- 4. 2 – 6, 3 – 5.

          1. Chodziło mi o przypadek 1-4, 2-5, 3-6 – przy losowym rozkładzie punktów na obwodzie taki podział praktycznie zawsze daje siedem kawałków, ale istnieje teoretyczna szansa, że linie się przetną w jednym punkcie i wyjdzie tylko sześć.

            1. Biorąc pod uwagę, że losujemy spośród liczb rzeczywistych, prawdopodobieństwo uzyskania tym sposobem sześciu kawałków wynosi zero. Niemniej jednak cieszę się z dyskusji pd wpisem, jest tu kilka całkiem rozsądnych wywodów w tym wątku 😉

            2. Takie losowanie to: połączenie 1 z 4 -> P(1-4)=1/5, potem P(2-5)=1/3, czyli połączenie “naprzeciwległych” punktów to prawdopodobieństwo równe 1/15. Znaczna większość daje 7 kawałków
              Moje łączenie: P(1-4)= 1/5, a potem P(2-6) =1/3, czyli też 1/15, ale zawsze jest 6 kawałków.
              Dobrze liczę to prawdopodobieństwo?

              1. Prawdopodobieństwo liczysz chyba dobrze, ale wydaje mi się, że niepotrzebnie. Przeczytaj jeszcze raz treść zadania, zobacz o co pytają.

                1. O liczbę kawałków dla 3 cięć.
                  To może inaczej. Różne wzory cięć na pizzy za każdym razem.
                  P(1-2) =1/5, P(3-4)=1/3 => P=1/15 – 4 kawałki (*2 bo symetria lustrzana)
                  P(1-2) =1/5, P(3-6)=1/3 => P=1/15 – 4 kawałki (*3 bo trzeba rozpatrzyć też cięciwy 1-4 i 2-5)
                  P(1-2) =1/5, P(3-5)=1/3 => P=1/15 – 5 kawałków (*6 bo trzeba rozpatrzyć też nieprzecinającą cięciwę z 2-3, 3-4, 4-5, 5-6 i 1-6)
                  P(1-3) =1/5, P(2-5)=1/3 => P=1/15 – 6 kawałków (*3 bo trzeba rozpatrzyć też cięciwy 1-4 i 3-6)
                  P(1-4) =1/5, P(2-5)=1/3 => P=1/15 – 7 kawałków
                  W sumie mamy 15 rozwiązań, przy czym:
                  4 kawałki – 5 razy
                  5 kawałków – 6 razy
                  6 kawałków – 3 razy
                  7 kawałków – 1 raz

                  Czyli dostaniemy najpewniej 5 kawałków (6/15, czyli 2/5 przypadków), albo 4 (5/15 = 1/3 przypadków)

                  Uff… Smacznego

                  1. Można to rozwiązać prościej. Po wylosowaniu pierwszego punktu mamy trzy opcje na jego parę:

                    1. 40% szansy, że trafimy na jeden z dwóch najbliższych punktów, co oznacza cięciwę, której już nic nie przetnie; pozostałe cztery punkty można połączyć na trzy sposoby (równolegle w jedną stronę, równolegle w drugą, lub na krzyż – równo 1/3 szansy na każdy), co nam daje odpowiednio 4, 4 i 5 kawałków.

                    2. 40% szansy na jeden z dwóch kolejnych punktów, czyli cięciwa z jednym przecięciem, dalsze pary jak wyżej, odpowiednio 5, 5 i 6 kawałków.

                    3. 20% szansy na przeciwległy punkt, pary odpowiednio 4, 6 i 7 kawałków (w ostatnim przypadku teoretycznie możliwe sześć, ale z nieskończenie małym prawdopodobieństwem).

                    Średnia ważona z tego wszystkiego, jak łatwo policzyć, wynosi równo pięć.

                    1. Ad 1) a przypadek, że odcinamy kawałki brzegów? tzn łączymy 1-2, 3-4 i 5-6: mamy teraz też 4 kawałki i do tego odbicie lustrzane.

                    2. Zasadniczo pozamiatałeś temat. We wtorek nastąpi oficjalne rozwiązanie zagadki, ale zbyt wiele to tu się już raczej nie doda.

  1. Sprawdzam empirycznie:
    1 cięcie, zawsze 2 kawałki
    2 ciecia, albo 3 albo 4 kawałki
    3 ciecia, 4, 5, 6, 7 kawałków
    4 cięcia: 5-11
    ogólnie: dla n cięć mamy od n+1 do ((n+1)n+2)/2 (suma szeregu liczb od 1 do n powiększona o 1) kawałków
    Średnio to będzie ((n+1) + ((n+1)n+2)/2)/2, czyli 2n dla parzystych i (4n+1)/2 dla nieparzystych
    czyli dla 3 cięć będzie to 5 albo 6 kawałków (z równym prawdopodobieństwem)
    Zagmatwane? Może…
    Prawidłowe? Hmmm?

Leave a Comment

Komentarze mile widziane.

Jeżeli chcesz do komentarza wstawić kod, użyj składni:
[code]
tutaj wstaw swój kod
[/code]