Jak być może co poniektórzy czytelnicy tego bloga zdążyli już boleśnie zauważyć, od czasu do czasu próbuję wykazywać zainteresowanie gałęziami matematyki nieco wykraczającymi poza to, co od lat wtłacza się w łby ofiar systemu edukacji powszechnej. Tak się bowiem jakoś złożyło, że matematyka od zawsze mnie bawiła, a gmeranie w cyferkach sprawiało mi frajdę porównywalną z tym, co "normalni" Polacy przeżywają na ostro zakrapianych imprezach.
Niestety (a może: na szczęście?) naga prawda jest taka, że te moje matematyczne niby-hobby to jest tylko czubeczek śnieżynki na wierzchołku lodowej góry o nazwie zaczynającej się na "M". Od czasu do czasu próbuję bowiem łyknąć trochę "prawdziwej" matematyki i prawie zawsze kończy się to niestrawnością.
Tak też było dziś, kiedy to natknąłem się na tytułowe twierdzenie Green-Tao. Z całego zagadnienia zrozumiałem jedynie treść samego twierdzenia (o tym za chwilę), natomiast jeśli chodzi o jego dowód, którego UPROSZCZONĄ wersję znalazłem w Sieci (o, tutaj: http://arxiv.org/abs/1403.2957), to komfort czytania skończył się w okolicach trzeciego akapitu, a poddałem się po przeczytaniu półtora strony. Przewinąłem jeszcze szybciutko całość, zerkając na piętrzące się tu i ówdzie wzory i po raz kolejny uświadomiłem sobie, jaki jestem malutki i głupiutki przy tych dwóch gościach, którzy to wykombinowali. A także przy tych, którzy tę uproszczoną wersję byli w stanie skompilować...
No dobra. Żeby nie wyjść na takiego kompletnego tępaka, zdradzę przynajmniej o co chodzi w samym twierdzeniu. Jest ono zaskakująco proste, a mówi, że dla dowolnie wybranej liczby naturalnej K istnieje przynajmniej jeden K-elementowy ciąg arytmetyczny, którego wszystkie wyrazy są kolejnymi liczbami pierwszymi.
Kilka przykładów takich ciągów dla małych wartości K:
K=3: 3, 5, 7
(ale już 3, 7, 11 odpada, bo między 3 a 7 jest jeszcze piątka, a twierdzenie mówi wyraźnie, że chodzi o kolejne liczby pierwsze)
K=4: 251, 257, 263, 269
K=5: 9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139
K=6: 121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961
Jak widać, wielkości liczb dla poszczególnych K rosną dość szybko; największa znana obecnie sekwencja liczb spełniająca nasze twierdzenie zaczyna się od liczby 43,142,746,595,714,191, ma różnicę między kolejnymi elementami równą 5,283,234,035,979,900 oraz dwadzieścia sześć elementów.
No właśnie. A tytułowe twierdzenie mówi, że taki ciąg znajdziemy dla dowolnie dużego K. Gdzieś tam istnieje ciąg arytmetyczny z miliardem elementów będących jednocześnie kolejnymi liczbami pierwszymi.
Nawiasem mówiąc facet, który to twierdzenie udowodnił, poszedł do podstawówki w wieku 3.5 roku, magistra zrobił w wieku lat 17, doktorat - 20, a profesurę w wieku 24 lat. Żeby było zabawniej, ten 39-letni obecnie Mozart matematyki (jak zgodnie zwą go wszyscy w branży) jest "zwyczajnym", skromnym człowiekiem bez żadnych odchyłów właściwych geniuszom. Można? Można...
Fascynujące...
No ciekawe jak to on udowodnił, ale nie sprawdzę bo już przy pierwszym zdaniu w jego dowodzie odpadam 🙂 Mimo że matematykę studiowałem dogłębnie i każdy egzamin powtarzałem kilka razy dla pewności…
ja myślę, że niejeden student jest w stanie udowodnić to twierdzenie. A jest tak przez analogię do opinii jednej pani doktor z politechniki, która stwierdziła, że niektórych całek nieoznaczonych nie da się generalnie wyznaczyć; generalni,e ponieważ są studenci, którzy takie całki wyznaczają z marszu….