Hipoteza ABC

In Jestem, więc myślę by xpil15 Comments

Wczoraj świat nauki obiegła radosna wieść, że Shinichi Mochizuki, japoński jajogłowy, udowodnił hipotezę ABC.

Z czystej ciekawości zajrzałem w różne źródła, żeby dowiedzieć się cóż to za zwierz, ta hipoteza. Okazuje się, że całkiem pokaźny, z rogami, kleszczami, parzydełkami i innymi rozrywkowymi narządami skutecznie odstraszającymi dotychczasowych śmiałków. A tu proszę bardzo, przybywa japoński rycerz w lśniącej równaniami eliptycznymi zbroi i roztrzaskuje smoka za pomocą zaledwie pięćsetstronicowego dowodu. Przy okazji, na chwilę obecną jest on ponoć jedynym człowiekiem na świecie, który ten dowód rozumie – coś jak z ogólną teorią względności, którą w czasach Einsteina rozumiało może ze trzech ludzi. A może mniej.

Zanim przejdę do szczegółów, dodam jeszcze, że hipoteza ABC (zwana być może już niedługo „twierdzeniem ABC”) ma doniosłe znaczenie w teorii liczb, ponieważ opiera się na niej dobrze ponad dziesięć innych hipotez matematycznych (które dzięki przekształceniu hipotezy ABC w twierdzenie, same staną się twierdzeniami, lub przynajmniej prościej będzie je udowodnić).

Teraz samo gęste, czyli o sssso chchchozzzi.

Otóż zacznijmy od początku. Zdefiniujemy sobie najpierw problem ABC, w następujący sposób:

Problemem ABC nazywamy każdą trójkę liczb całkowitych dodatnich A, B i C, które nie mają wspólnych podzielników (z wyjątkiem, oczywiście, jedynki), a także które spełniają równanie: A + B = C

Przykłady:

2 + 3 = 5
7 + 9 = 16
24 + 25 = 49

(24 ma dwa podzielniki pierwsze: 2 i 3; 25 dzieli się tylko przez 5, a 49 – tylko przez 7)

Proste?

No to kontynuujemy.

Wprowadzimy teraz pojęcie pomocnicze: część bezkwadratowa.

Część bezkwadratowa liczby całkowitej X (oznaczmy ją P(X)) to iloczyn jej czynników pierwszych. Dla przykładu, P(20) = 10 ponieważ jedyne czynniki pierwsze liczby 20 to 2 i 5, a 2 * 5 = 10. Inny przykład: P(441) = 21 ponieważ jedyne czynniki pierwsze liczby 441 to 3 i 7, a 3 * 7 = 21.

Znamy więc teraz (przynajmniej ci z nas, którzy jeszcze nie ucięli komara) dwa dodatkowe pojęcia: problem ABC oraz część bezkwadratowa P(X). Czas na hipotezę właściwą.

Hipoteza ABC mówi nam, że ilość trójek (A, B, C) spełniających problem ABC (a więc, będących względnie pierwszymi oraz spełniającymi równanie A + B = C), oraz spełniających warunek \( \displaystyle C > P(A \times B \times C)^X\) jest skończona dla dowolnego X > 1.

Przekładając to na bardziej humanitarny język, hipoteza ABC mówi, że na ogół P(A * B * C) jest dużo większe od C, a przypadków, kiedy C jest większe, jest ograniczona liczba, dla dowolnej zadanej wielokrotności P.

Może poniższe przykłady nieco zobrazują ten bełkot:

Przykład 1.

Weźmy liczby A = 4, B = 127 oraz C = 131. Są one względnie pierwsze (a więc, nie mają wspólnych podzielników, z wyjątkiem jedynki) oraz spełniają równość A + B = C.

Część bezkwadratowa iloczynu tych liczb to P(4 * 127 * 131) = P(66548) = 2 * 127 * 131 = 33274. Jak widać, P jest dużo większe od C, i jest to regułą.

Przykład 2.

A = 3, B = 125, C = 128
P(3 * 125 * 128) = 3 * 5 * 2 = 30

30 jest mniejsze niż 128 – i to jest ten rzadki przypadek, kiedy P(A * B * C) < C. I teraz uwaga: 128 to 30 podniesione do potęgi o wykładniku mniej więcej 1.426. Hipoteza ABC mówi nam, że takich trójek (A, B, C), gdzie C jest większe niż P(A, B, C) podniesione do potęgi 1.426 (wartość tej potęgi można sobie ustalić na dowolnym poziomie) jest skończona ilość.

Nudne, prawda?

Jednakowoż, hipoteza ABC pomaga na przykład w udowodnieniu Wielkiego Twierdzenia Fermata – co prawda wyłącznie dla odpowiednio dużych wykładników, ale jednak.

Twierdzenie to mówi, że nie da się znaleźć naturalnych rozwiązań równania \(A^N+B^N=C^N\), dla N > 2 i jest chyba najsłynniejszym twierdzeniem wszechczasów.

Podobno w celu udowodnienia hipotezy ABC Shinichi opracował zupełnie nowe metody matematyczne. A więc, geniusz na miarę stulecia.

Żyjemy w ciekawych czasach… Niedawno bozon Higgsa, teraz hipoteza ABC.

Co dalej?

P.S. Dopisane trzy lata później: https://xpil.eu/U4u2S

P.P.S. Więcej wpisów z serii „Jestem, więc myślę” można znaleźć tutaj: https://xpil.eu/k/jestem-wiec-mysle/

Dodaj komentarz

15 komentarzy do "Hipoteza ABC"

Powiadom o
avatar
Sortuj wg:   najnowszy | najstarszy | oceniany
konradk - dev.wpzlec
Gość

dzieki za ten wpis 🙂 trafiasz w nagrode do mojego czytnika rss 😉

xpil
Gość

Wow, miła odmiana. Zazwyczaj trafiam ludkom do KF-ów.

werts
Gość

"24 dzieli się tylko przez 2 i 3…" , no chyba nie

xpil
Gość

Użyłem skrótu myślowego (bardzo niematematycznego zresztą). W rozwinięciu powinno być "Jedyne czynniki pierwsze liczby 24 to 2 i 3."

butter
Gość

tak w temacie matematycznym – podobał mi sie ostatnio tekst: weźmy dwie kolejne liczny rzeczywiste..
[koniec dowcipu]

Michal
Gość

Dzięki za wytłumaczenie 🙂 Ciekawy artykuł.

filip
Gość

dzieki 🙂

Ignorant Megamatemat
Gość

Dziękuję za proste i zwięzłe wytłumaczenie problemu, szkoda że nie miałem takiego nauczyciel/a(i) matematyki w szkole, wtedy bym kochał matematykę a nie tylko zaliczał (…z trudnością). Zdrowe, zabawne, i bardzo ciekawe podejście do skomplikowanych zagadnień, tylko Mądrzy Ludzie umieją tak zabawnie mówić o nieciekawych zjawiskach. Pewnie pisałbym jeszcze długo o zaletach takiego tłumaczenia … ale czas mnie goni… o wlaśnie mnie dopadł. 🙂 Serdecznie Pozdrawiam i Dziękuję.

xpil
Gość

To ja miałem odwrotnie. W szkole średniej marzyło mi się, żeby wreszcie zaliczyć, zamiast chrzanić się z matematyką…

Ryszard Iskra
Gość

Wspaniały tekst naprawdę każdy może zrozumieć o co tu chodzi! Gratulacje!!!

Ryszard Iskra chyba ignorant
Gość

Czytam to po raz kolejny i jednak czegoś nie zrozumiałem.
W przykładzie 1 jest poniższy zapis:
„Część bezkwadratowa iloczynu tych liczb to P(4 * 127 * 131) = P(66548) = 2 * 127 * 131 = 33274. Jak widać, P jest dużo większe od C, i jest to regułą.”
Dlaczego P(66548) = 2 * 127 * 131 wg mnie winno być: 4 * 127 * 131 = 66548 przecież ani 127 ani 131 nie jest parzyste?

Ryszard Iskra chyba ignorant
Gość

Ależ człowieka czasem zaćmi – faktycznie 127 i 131 nie są parzyste ale przecież 4 = 2 * 2
To znaczy, że jednak zrozumiałem!!
Jeszcze raz grabula.

wpDiscuz