Hipoteza ABC

Wczoraj świat nauki obiegła radosna wieść, że Shinichi Mochizuki, japoński jajogłowy, udowodnił hipotezę ABC.

Z czystej ciekawości zajrzałem w różne źródła, żeby dowiedzieć się cóż to za zwierz, ta hipoteza. Okazuje się, że całkiem pokaźny, z rogami, kleszczami, parzydełkami i innymi rozrywkowymi narządami skutecznie odstraszającymi dotychczasowych śmiałków. A tu proszę bardzo, przybywa japoński rycerz w lśniącej równaniami eliptycznymi zbroi i roztrzaskuje smoka za pomocą zaledwie pięćsetstronicowego dowodu. Przy okazji, na chwilę obecną jest on ponoć jedynym człowiekiem na świecie, który ten dowód rozumie - coś jak z ogólną teorią względności, którą w czasach Einsteina rozumiało może ze trzech ludzi. A może mniej.

Zanim przejdę do szczegółów, dodam jeszcze, że hipoteza ABC (zwana być może już niedługo "twierdzeniem ABC") ma doniosłe znaczenie w teorii liczb, ponieważ opiera się na niej dobrze ponad dziesięć innych hipotez matematycznych (które dzięki przekształceniu hipotezy ABC w twierdzenie, same staną się twierdzeniami, lub przynajmniej prościej będzie je udowodnić).

Teraz samo gęste, czyli o sssso chchchozzzi.

Otóż zacznijmy od początku. Zdefiniujemy sobie najpierw problem ABC, w następujący sposób:

Problemem ABC nazywamy każdą trójkę liczb całkowitych dodatnich A, B i C, które nie mają wspólnych podzielników (z wyjątkiem, oczywiście, jedynki), a także które spełniają równanie: A + B = C

Przykłady:

2 + 3 = 5
7 + 9 = 16
24 + 25 = 49

(24 ma dwa podzielniki pierwsze: 2 i 3; 25 dzieli się tylko przez 5, a 49 - tylko przez 7)

Proste?

No to kontynuujemy.

Wprowadzimy teraz pojęcie pomocnicze: część bezkwadratowa.

Część bezkwadratowa liczby całkowitej X (oznaczmy ją P(X)) to iloczyn jej czynników pierwszych. Dla przykładu, P(20) = 10 ponieważ jedyne czynniki pierwsze liczby 20 to 2 i 5, a 2 * 5 = 10. Inny przykład: P(441) = 21 ponieważ jedyne czynniki pierwsze liczby 441 to 3 i 7, a 3 * 7 = 21.

Znamy więc teraz (przynajmniej ci z nas, którzy jeszcze nie ucięli komara) dwa dodatkowe pojęcia: problem ABC oraz część bezkwadratowa P(X). Czas na hipotezę właściwą.

Hipoteza ABC mówi nam, że ilość trójek (A, B, C) spełniających problem ABC (a więc, będących względnie pierwszymi oraz spełniającymi równanie A + B = C), oraz spełniających warunek \( \displaystyle C > P(A \times B \times C)^X\) jest skończona dla dowolnego X > 1.

Przekładając to na bardziej humanitarny język, hipoteza ABC mówi, że na ogół P(A * B * C) jest dużo większe od C, a przypadków, kiedy C jest większe, jest ograniczona liczba, dla dowolnej zadanej wielokrotności P.

Może poniższe przykłady nieco zobrazują ten bełkot:

Przykład 1.

Weźmy liczby A = 4, B = 127 oraz C = 131. Są one względnie pierwsze (a więc, nie mają wspólnych podzielników, z wyjątkiem jedynki) oraz spełniają równość A + B = C.

Część bezkwadratowa iloczynu tych liczb to P(4 * 127 * 131) = P(66548) = 2 * 127 * 131 = 33274. Jak widać, P jest dużo większe od C, i jest to regułą.

Przykład 2.

A = 3, B = 125, C = 128
P(3 * 125 * 128) = 3 * 5 * 2 = 30

30 jest mniejsze niż 128 - i to jest ten rzadki przypadek, kiedy P(A * B * C) < C. I teraz uwaga: 128 to 30 podniesione do potęgi o wykładniku mniej więcej 1.426. Hipoteza ABC mówi nam, że takich trójek (A, B, C), gdzie C jest większe niż P(A, B, C) podniesione do potęgi 1.426 (wartość tej potęgi można sobie ustalić na dowolnym poziomie) jest skończona ilość.

Nudne, prawda?

Jednakowoż, hipoteza ABC pomaga na przykład w udowodnieniu Wielkiego Twierdzenia Fermata - co prawda wyłącznie dla odpowiednio dużych wykładników, ale jednak.

Twierdzenie to mówi, że nie da się znaleźć naturalnych rozwiązań równania \(A^N+B^N=C^N\), dla N > 2 i jest chyba najsłynniejszym twierdzeniem wszechczasów.

Podobno w celu udowodnienia hipotezy ABC Shinichi opracował zupełnie nowe metody matematyczne. A więc, geniusz na miarę stulecia.

Żyjemy w ciekawych czasach... Niedawno bozon Higgsa, teraz hipoteza ABC.

Co dalej?

P.S. Dopisane trzy lata później: http://xpil.eu/U4u2S

19 komentarzy

    1. Użyłem skrótu myślowego (bardzo niematematycznego zresztą). W rozwinięciu powinno być "Jedyne czynniki pierwsze liczby 24 to 2 i 3."

  1. tak w temacie matematycznym – podobał mi sie ostatnio tekst: weźmy dwie kolejne liczny rzeczywiste..
    [koniec dowcipu]

  2. Dziękuję za proste i zwięzłe wytłumaczenie problemu, szkoda że nie miałem takiego nauczyciel/a(i) matematyki w szkole, wtedy bym kochał matematykę a nie tylko zaliczał (…z trudnością). Zdrowe, zabawne, i bardzo ciekawe podejście do skomplikowanych zagadnień, tylko Mądrzy Ludzie umieją tak zabawnie mówić o nieciekawych zjawiskach. Pewnie pisałbym jeszcze długo o zaletach takiego tłumaczenia … ale czas mnie goni… o wlaśnie mnie dopadł. 🙂 Serdecznie Pozdrawiam i Dziękuję.

    1. To ja miałem odwrotnie. W szkole średniej marzyło mi się, żeby wreszcie zaliczyć, zamiast chrzanić się z matematyką…

    1. Dzięki. To jedyny (z ponad tysiąca) wpisów na tym blogu, który został obejrzany przez większą ilość ludzi. Ktoś go niechcący wykopał swego czasu i jak na ogół mam ze 20-30 odsłon dziennie, tak tamtego dnia miałem coś ponad 20,000 😉

  3. Czytam to po raz kolejny i jednak czegoś nie zrozumiałem.
    W przykładzie 1 jest poniższy zapis:
    “Część bezkwadratowa iloczynu tych liczb to P(4 * 127 * 131) = P(66548) = 2 * 127 * 131 = 33274. Jak widać, P jest dużo większe od C, i jest to regułą.”
    Dlaczego P(66548) = 2 * 127 * 131 wg mnie winno być: 4 * 127 * 131 = 66548 przecież ani 127 ani 131 nie jest parzyste?

  4. Ależ człowieka czasem zaćmi – faktycznie 127 i 131 nie są parzyste ale przecież 4 = 2 * 2
    To znaczy, że jednak zrozumiałem!!
    Jeszcze raz grabula.

      1. arxiv.org publikuje brednie również. arxiv.org nie jest dostępne dla mnie, bo nikt mnie tamże nie wprowadzi. Moje prace są opublikowane, więc nikt mnie nie wyprzedzi.
        Disproof the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

        http://pubs.sciepub.com/EDUCATION/4/7/1/index.html

        SEVERAL TREASURES OF THE QUEEN OF MATHEMATICS

        http://www.ijetae.com/files/Volume6Issue1/IJETAE_0116_09.pdf

        CUDOWNY DOWÓD WIELKIEGO TWIERDZENIA FERMATA

        http://www.ijetae.com/files/Volume2Issue12/IJETAE_1212_14.pdf

        Fałszywy jest tylko mój dowód nie wprost hipotezy Beala, ale wprost podałem najwięcej przypadków, bez uzupełnienia ich liczby odkryciami stąd:
        http://vixra.org/abs/1707.0167

      2. Nie jest możliwe wyprzedzenie mnie. Przemilczenie – tak.
        viXra.org też w pełni chroni prawa autorskie.
        Na arxiv.org nikt mnie nie wprowadzi z powodu zawiści.

        THE SURPRISING PROOFS

        http://viXra.org/abs/1707.0167?ref=9500549

        http://viXra.org/abs/1707.0167

        http://viXra.org/abs/1706.0192?ref=9454335

        Disproof the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

        http://pubs.sciepub.com/EDUCATION/4/7/1/index.html

        SEVERAL TREASURES OF THE QUEEN OF MATHEMATICS

        http://www.ijetae.com/files/Volume6Issue1/IJETAE_0116_09.pdf

        CUDOWNY DOWÓD WIELKIEGO TWIERDZENIA FERMATA
        http://www.ijetae.com/files/Volume2Issue12/IJETAE_1212_14.pdf

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.