Sze艣膰dziesi膮t jeden kwadryliard贸w dwie艣cie osiemna艣cie kwadrylion贸w sto osiemdziesi膮t dwa tryliardy siedemset czterdzie艣ci trzy tryliony trzysta cztery biliardy siedemset jeden bilion贸w osiemset dziewi臋膰dziesi膮t jeden miliard贸w czterysta trzydzie艣ci jeden milion贸w czterysta osiemdziesi膮t dwa tysi膮ce pi臋膰set dwadzie艣cia - tak brzmia艂by tytu艂 dzisiejszego wpisu, gdyby komu艣 chcia艂o si臋 go przeczyta膰 w ca艂o艣ci.
Czy kto艣 mo偶e kojarzy te liczb臋? Na pierwszy rzut oka wygl膮da jak wysoko艣膰 d艂ugu publicznego Polski za siedem lat, ale to nie to.
Na drugi rzut oka wygl膮da na losowo wygenerowany ci膮g cyfr, kt贸ry autor tego bloga opublikowa艂, 偶eby zaimponowa膰 czytelnikowi znajomo艣ci膮 s艂owa "kwadryliard". Jednak to r贸wnie偶 z艂a 艣cie偶ka. Wszystkie liczebniki a偶 do decyliarda wyssa艂em z mlekiem matki, a jeszcze w podstaw贸wce pozna艂em centylion (czyli jedynk臋 z sze艣ciuset zerami). Wielkie mi mecyje, kwadryliard.
Na trzeci rzut oka trzeba b臋dzie poczeka膰, poniewa偶 chwilowo sko艅czy艂y mi si臋 oczy.
O c贸偶 wi臋c chodzi?
Chodzi ni mniej ni wi臋cej tylko o tr贸jk膮t Paskala. Czy kto艣 mo偶e pami臋ta to zwierz臋, ze wczesnych lat swej m艂odo艣ci?
Dla wi臋kszo艣ci tr贸jk膮t Paskala kojarzy si臋 z niebanaln膮 rymowank膮, bardzo popularn膮 w艣r贸d m艂odocianych fan贸w futbolu:
"Tr贸jk膮t Paskala
Kto kopn膮艂, ten zapierdala!"
Rymowanka ta ma ten niew膮tpliwy walor edukacyjny, 偶e utrwala poj臋cie matematyczne nawet w tak odleg艂ych od matematyki warunkach jak boisko. Jednak w przypadku dzisiejszego wpisu od艂贸偶my poezj臋 na bok (chocia偶 trudno, bo strofy s膮 pi臋kne, a stopy, daktyle i 艣redni贸wki wprawiaj膮 umys艂 w istne crescendo zachwytu) i skupmy si臋 na stronie matematycznej zagadnienia.
Tr贸jk膮t Paskala jest konstrukcj膮 z pozoru banaln膮. Na g贸rze, w pierwszym wierszu, ma jedynk臋. W drugim wierszu dwie jedynki. W trzecim wierszu jedynk臋, dw贸jk臋 i jedynk臋. W czwartym wierszu jedynk臋, dwie tr贸jki i jedynk臋. I tak dalej. Ka偶dy kolejny wiersz zaczyna si臋 i ko艅czy jedynk膮, a pozosta艂e elementy powstaj膮 poprzez zsumowanie dw贸ch element贸w powy偶ej (tj. z poprzedniego wiersza).
Proste?
No i teraz pytanie: czy jaka艣 liczba (opr贸cz, rzecz jasna, jedynki) mo偶e pojawi膰 si臋 w tr贸jk膮cie Paskala wi臋cej ni偶, dajmy na to, dwa razy?
Po kr贸tkim namy艣lunku odnajdujemy dziesi膮tk臋, kt贸ra pojawia si臋 w wierszu sz贸stym (dwa razy) oraz jedenastym (te偶 dwa razy). Domy艣lamy si臋, 偶e takich liczb b臋dzie wi臋cej, poniewa偶 liczby wzd艂u偶 ramion tr贸jk膮ta (zaraz poni偶ej skrajnych jedynek) tworz膮 ci膮g arytmetyczny, a wiele z nich pojawia si臋 po raz drugi (albo i trzeci) r贸wnie偶 we wn臋trzu tr贸jk膮ta. Czyli czterokrotne powt贸rzenie nie jest niczym niezwyk艂ym.
A co z wi臋kszymi krotno艣ciami?
Tutaj docieramy do interesuj膮cego zagadnienia. Okazuje si臋 bowiem, 偶e 偶adna liczba nie pojawia si臋 w naszym tr贸jk膮cie wi臋cej ni偶 osiem razy. W dodatku tylko jedna taka liczba jest nam znana: 3003. Nie znamy 偶adnej innej liczby, kt贸ra w tr贸jk膮cie pojawia si臋 osiem razy, nie mamy te偶 偶adnego dowodu na jej brak.
A co z sze艣ciokrotno艣ciami?
Okazuje si臋, 偶e liczb, kt贸re w tr贸jk膮cie Paskala pojawiaj膮 si臋 sze艣膰 razy jest niesko艅czenie wiele. Z tym, 偶e wyst臋puj膮 one tam bardzo rzadko. Pierwsz膮 z nich jest w艂a艣nie tytu艂owe sze艣膰dziesi膮t jeden kwadryliard贸w z groszami. Druga z kolei taka liczba zaczyna si臋 od cyfr 353 (czyli kierunkowy na Irlandi臋) i ma dwie艣cie cztery cyfry.
Nie wiem co bym zrobi艂 bez tych informacji...
Je偶eli chcesz do komentarza wstawi膰 kod, u偶yj sk艂adni:
[code]
tutaj wstaw sw贸j kod
[/code]
Je偶eli zrobisz liter贸wk臋 lub zmienisz zdanie, mo偶esz edytowa膰 komentarz po jego zatwierdzeniu.