Czapki i pierścienie

https://xpil.eu/r1ixH 📋

Dziś zaprezentuję jedną z dość popularnych, a zarazem intrygujących zagadek stereometrycznych.

(Dla niewtajemniczonych: stereometria to gałąź geometrii badająca figury w przestrzeni trójwymiarowej)

(Dla debili: "stereometryczny" to przymiotnik od "stereometria")

Zagadka jest o tyle intrygująca, że ma bardzo mało danych na wejściu. Naprawdę mało. A konkretnie: jedną.

Zagadka brzmi tak: przez środek kuli wydrążono (na wylot) dziurę w kształcie walca o wysokości 6. Proszę podać objętość pozostałej części kuli (tzn. pozostałego po wydrążeniu dziury pierścienia).

Prawda, że intrygujące? Nie znamy ani średnicy walca, ani promienia kuli - nic, tylko wysokość walca.

Wbrew pozorom, zagadka jest logicznie spójna i ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Żeby je wyznaczyć, trzeba do sprawy podejść systematycznie.

Objętość pozostałej części kuli to oczywiście objętość całej kuli zmniejszona o objętość walca oraz dwóch "czapeczek", które podstawy walca "odcinają" od kuli.

Czyli tak:

\(V_x = V_k-V_w-2V_c\)

Gdzie: \(V_x\) to objętość poszukiwana (wynik), \(V_k\) to objętość kuli, \(V_w\) - walca, a \(V_c\) - pojedynczej "czapeczki" nad/pod walcem.

Sięgnijmy do zasobów pamięci głębokiej (tej z podstawówki lub szkoły średniej), gdzie znajdziemy:

\(V_k = \frac{4}{3} \pi R^3 \\* V_w = \pi r^2 H \\* V_c = ???\)

Gdzie R to promień kuli, r - promień podstawy walca, a H - wysokość walca (równa 6 - to jest ta jedna, jedyna dana, którą mamy daną, znaną i lubianą)

Niestety, w szkołach nie uczą wzoru na objętości czapeczek, bardzo szkoda. Odwieszamy na moment aureolę na gwóźdź i zaglądamy na wikipedię, która powie nam, że objętość czapeczki to nic innego jak \(\pi \frac{C^2}{3} (3R - C)\), przy czym C to wysokość samej czapeczki.

Jak nietrudno zauważyć, wysokość czapeczki jest równa promieniowi kuli pomniejszonemu o połowę wysokości walca. Czyli: \(C = R-\frac{H}{2}\)

Natężamy teraz naszą ostatnią szarą komórkę i próbujemy wykumać ile wynosi \(r^2\) (czyli promień podstawy walca, podniesiony do kwadratu). Z twierdzenia Pitagorasa wychodzi nam, że to \(R^2 - (\frac{H}{2})^2\).

Teraz możemy już popodstawiać te wszystkie wzory do początkowego równania. W efekcie otrzymamy:

\(V_x = \frac{4}{3} \pi R^3 - (\pi H (R^2 - (\frac{H}{2})^2)) - 2 ((\frac{\pi (R-\frac{H}{2})^2}{3}) (3 R - (R-\frac{H}{2})))\)

Podstawiając \(H=6\), po ośmiu prostych przekształceniach okaże się, że R się zredukuje, pozostawiając w wyniku jedną, stałą wartość, która wynosi \(36 \pi\).

Tak więc niezależnie od tego, czy sfera będzie miała promień dziesięciu centymetrów, kilometra czy też będzie wielkości kuli ziemskiej, po wycięciu z niej cylindra o wysokości 6 pozostała część będzie miała objętość \(36 \pi\).

Jak się dobrze zastanowić (mówię teraz do tych Czytelników, którzy nie zasnęli przy szóstym \(\pi\), i optymistycznie używam liczby mnogiej, licząc na to, że jest owych Czytelników więcej niż jeden), ma to sens. Czym większa sfera tym wysokość cylindra będzie mniejsza względem jego grubości, co z kolei oznacza, że będziemy odcinać coraz większe "czapki", a także, że grubość pozostałego pierścienia będzie maleć, równoważąc przyrosty "czapek".

Ziew.

[yop_poll id="36"]

https://xpil.eu/r1ixH 📋