Proste, a jednak nie do końca

https://xpil.eu/my8 📋

Zdarza się, że na pozornie proste pytania czasem trudno znaleźć odpowiedź.

Na przykład:

Czy żyjemy w symulacji?

albo

Co jest prawdziwe?

W niektórych przypadkach odpowiedź może być albo bardzo prosta, albo wręcz przeciwnie - w zależności od tego jak bardzo chcemy się zagłębiać w szczegóły. Na przykład:

Jak działa program "Hello, world"?

W matematyce najbardziej znanym przykładem prostego problemu z trudną odpowiedzią jest chyba WTF, na którego dowód trzeba było czekać cztery stulecia. Innym, nierozwiązanym jeszcze problemem jest Hipoteza ABC, o której na tym blogu pisałem już kilkukrotnie (począwszy od tego wpisu).

Istnieje jeszcze jedna hipoteza, której zapis wygląda całkiem niewinnie na papierze, ale której nie udało się póki co udowodnić.

Hipoteza ta mówi, że:

Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, których tangens jest większy od n.

Tym z Czytelników, którzy na widok słowa "tangens" dostają gęsiej skórki przypominam, że tangens jakiejś liczby x to nic innego jak sinus x podzielony przez kosinus x. Ponieważ kosinusoida przecina oś odciętych w punkcie π/2 (czyli cos(π/2)=0), tangens w tym punkcie jest nieokreślony (nie możemy dzielić przez zero) - jadąc po osi X w prawo zobaczymy, że w okolicach π/2 wykres tangensa leci ostro w górę osiągając plus nieskończoność w π/2; jeżeli będziemy się przemieszczać po osi X w drugą stronę (czyli w lewo), sprawa ma się zgoła przeciwnie: tangensoida daje ostrego nura w dół aż do minus nieskończoności. Krótko mówiąc, w π/2 tangensa nie ma, ale dowolnie blisko π/2 - jest, tym dalej od osi X im bliżej punktu π/2 będziemy.

Oczywiście ponieważ tangens jest funkcją trygonometryczną, a te lubią się powtarzać, identyczna sytuacja zachodzi w 3/2 π, 5/2 π, 7/2 π i tak dalej. Wykres tangensa wygląda, mniej więcej, o tak:

Wróćmy teraz do oryginalnego pytania, czyli czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które są mniejsze od swoich tangensów.

Innymi słowy: bierzemy na osi X liczbę całkowitą dodatnią N i patrzymy, czy tangensoida w tym punkcie leży na osi Y wyżej od N. Hipoteza mówi, że takich liczb jest nieskończenie wiele.

Doświadczenie zaś pokazuje, że nawet jeżeli liczb takich jest faktycznie nieskończenie wiele, to są one rozmieszczone bardzo, ale to bardzo rzadko.

Pierwszą taką liczbą jest... jedynka. Tangens z jedynki to nieco ponad 1.55

Drugą taką liczbą jest 260515 - tangens wynosi ciut ponad 383610.

Jeżeli od 260515 odejmiemy π/2, a wynik podzielimy przez π dostaniemy w wyniku liczbę bardzo bliską 82924 (konkretnie 82923.999999170226…) - co oznacza, że 82924. okres tangensoidy prawie pokrywa się z wielokrotnością π (przesuniętą o π/2 rzecz jasna), czyli lądujemy bardzo blisko asymptoty (to ta pionowa linia przerywana oznaczająca plus-minus nieskończoność).

Ponieważ π jest liczbą niewymierną (czyli jej cyfry nie mają żadnego powtarzalnego wzorca), intuicja podpowiada nam, że takie liczby nigdy się nie skończą. Tymczasem udało się póki co odnaleźć tylko pierwszych szesnaście; największa znana obecnie liczba naturalna mniejsza od swojego tangensa to 4 285 797 387 061 825 747 646 013 (cztery koma dwa kwadryliona, pi x drzwi) - jej tangens to okolice 5 479 811 905 869 670 179 307 440 czyli pięć koma cztery kwadrylionów z niedużym hakiem.

Żeby dodać zagadce smaczku udało się w 1998 roku udowodnić (za pomocą dość złożonych rozważań opartych o przybliżenia diofantyczne), że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, których tangens jest większy od n/4, a także takich, których moduł tangensa jest większy od n (twardzieli zapraszam do szczegółowej lektury tutaj - mi zabrakło rozpędu na próbę zrozumienia, chociaż to "niby" tylko cztery strony...). Ale pytanie główne pozostaje póki co bez odpowiedzi.

Nudne, prawda?

https://xpil.eu/my8 📋