Dziś kontynuacja wczorajszego żarciku - tym razem zamiast mówić o fikcyjnym matematyku będącym hybrydą Pitagorasa i Fibonacciego (a może na odwrót?) opowiem o jeszcze jednej, moim zdaniem całkiem interesującej cesze ciągu Fibonacciego (również związanej z trójkątami pitagorejskimi).
Otóż począwszy od liczby pięć (która jest piątym - lub szóstym - zależy jak liczyć - elementem sekwencji) możemy zaobserwować następującą tajemniczą zależność:
Co druga liczba w ciągu Fibonacciego jest długością przeciwprostokątnej trójkąta pitagorejskiego, którego dłuższa przyprostokątna ma długość będącą sumą długości boków poprzedniego trójkąta w tej sekwencji, a długość krótszej przyprostokątnej jest różnicą między poprzednią (tą ominiętą) liczbą Fibonacciego, a długością krótszej przyprostokątnej poprzedniego trójkąta w sekwencji.
Dodatkowo, żeby w ogóle wystartować z powyższą definicją, przyjmujemy, że pierwszy trójkąt w sekwencji to trójkąt egipski.
Egipski, panie! Na łazie malutki!
Ktoś jeszcze ma skojarzenia z klasyką francuskiej kinematografii?
Skroimy frajerów. Refuj bukszpryt!
No dobra, wróćmy do tematu. Zamiast teoretyzować, sprawdźmy sobie kilka początkowych elementów:
Dla F = 5 mamy z definicji:
A = 3, B = 4, C = 5
F = 8 (pomijamy)
Dla F = 13 mamy:
A = 8 - 3 = 5
(8 to ostatnio pominięta liczba Fibonacciego, a 3 to długość krótszej przeciwprostokątnej poprzedniego trójkąta)
B = 3 + 4 + 5 = 12
(3, 4 i 5 to odpowiednio A, B i C z poprzedniego trójkąta)
C = 13
Sprawdzamy:
A2 + B2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 = C2
F = 21 (pomijamy)
Dla F = 34 mamy:
A = 21 - 5 = 16
B = 5 + 12 + 13 = 30
C = 34
Sprawdzamy:
A2 + B2 = 162 + 302 = 256 + 900 = 1156 = 342 = C2
F = 55 (pomijamy)
Dla F = 89 mamy:
A = 55-16 = 39
B = 16 + 30 + 34 = 80
C = 89
Sprawdzamy:
A2 + B2 = 392 + 802 = 1521 + 6400 = 7921 = 892 = C2
I tak dalej...
Czuję się zadziwiony…
Ja też. I to nawet nie tyle samym faktem ile tym, że odkryłem go dopiero po tylu latach…
“Moris, rzeczywistość powoduje u mnie zadziwienie!”
Król Julian