π i φ w jednym stały domu

Dziś pokażę interesującą, mało znaną i wcale nie tak skomplikowaną jak by się mogło na pierwszy rzut oka wydawać zależność między moimi dwiema ulubionymi stałymi matematycznymi, czyli Pi oraz Fi.

Dla niewtajemniczonych: Pi to (za przeproszeniem) stosunek obwodu koła do długości jego średnicy, w przybliżeniu 3.1415926535, czyli trzy z hakiem. Złośliwi mówią, że stukot kół pociągu to nic innego jak ten właśnie hak łomoczący o szynę z każdym obrotem koła.

Z kolei Fi to złota proporcja, czyli (za przeproszeniem) stosunek długości fragmentów odcinka podzielonego na dwie części w taki sposób, że długość części krótszej do dłuższej ma się tak jak dłuższa do całości. Wartość Fi to (pi x oko 🙂 ) 1.6180339887

Pi oznaczamy po grecku literką π, a Fi - literką φ.

A ryba po grecku to ψάρι.

No i teraz samo gęste, czyli jak się ma jedno do drugiego.

A ma się w ogóle? Przecież obydwie liczby są niewymierne, jedna jest oparta na właściwości okręgu, druga - odcinka. Ni w kij ni w oko.

A jednak...

\(\displaystyle\pi = \frac{5}{\phi} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\phi}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\phi}}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\phi}}}}}\ldots\)

Powyższe wyrażenie jest nieskończenie długie. Każdy dodatkowy człon mnożenia zwiększa nam precyzję wyniku; jeżeli przemnożymy przez siebie wszystkie takie wyrażenia (przy czym ostatnie będzie miało w mianowniku nieskończenie wiele pierwiastków zagnieżdżonych nieskończenie wiele razy), dostaniemy poprawny wynik.

Mówiłem, że proste 😉

9 komentarzy

  1. PI to taka liczba, że za co by się praktycznie nie wziął to się pojawi. Podobnie jak e.

  2. jeśli chodzi o takie zależności, to podobno najbardziej elegancja zależność to:
    e^iπ -1 =0

  3. A propos popularnych liczb niewymiernych. Zauważyłem kiedyś taką ciekawostkę. Jeśli weźmiemy pierwiastki trzech pierwszych liczb naturalnych, czyli √1 (no dobra to jest po prostu jeden, ale zostańmy przy tym oznaczeniu 😉 ), √2 i √3 to:
    √2 + √3 ≈ π, √1 + √3 ≈ e; a √1 + √2 czyli po ludzku 1+√2 to srebrny podział. Lepiej by w tym ostatnim pasowało φ, ale nie wyszło. 😉
    Natomiast przybliżenia są całkiem dobre. Stosunek (za przeproszeniem) (√2 + √3) / π to około 1.0015, (1 + √3)/e to jakieś 1.0051. Może do obliczeń toru pojazdów kosmicznych się nie nada, ale do jakichś mniej wyszukanych rachunków pewnie już tak. 😉

      1. Co do przybliżeń jeszcze to dobrze też podrabiają znane stałe niewymierne ułamki z mianownikiem 7. 22/7 zresztą znane jest od starożytności jako niezłe przybliżenie liczby π, ale też:
        10/7 ≈ √2, 12/7≈ √3, a 19/7 ≈ e. I tylko fi się nie poddaje (przynajmniej siódemkom, bo wiadomo, że zawsze można jakiś przybliżający ułamek znaleźć 😉 )

        (Na upartego może być fi ≈ 11/7)

        1. Jest jeszcze słynne 113355. Dzielisz na pół, stawiasz jedną połówkę na górze, drugą na dole i bęc: 355/113.

Leave a Comment

Komentarze mile widziane.

Jeżeli chcesz do komentarza wstawić kod, użyj składni:
[code]
tutaj wstaw swój kod
[/code]