π i φ w jednym stały domu

Czy da się zapisać taką równość, w której po lewej stronie będzie liczba Pi, a po prawej – Fi? Pewnie się nie da….

Dziś pokażę interesującą, mało znaną i wcale nie tak skomplikowaną jak by się mogło na pierwszy rzut oka wydawać zależność między moimi dwiema ulubionymi stałymi matematycznymi, czyli Pi oraz Fi.

Dla niewtajemniczonych: Pi to (za przeproszeniem) stosunek obwodu koła do długości jego średnicy, w przybliżeniu 3.1415926535, czyli trzy z hakiem. Złośliwi mówią, że stukot kół pociągu to nic innego jak ten właśnie hak łomoczący o szynę z każdym obrotem koła.

Z kolei Fi to złota proporcja, czyli (za przeproszeniem) stosunek długości fragmentów odcinka podzielonego na dwie części w taki sposób, że długość części krótszej do dłuższej ma się tak jak dłuższa do całości. Wartość Fi to (pi x oko 🙂 ) 1.6180339887

Pi oznaczamy po grecku literką π, a Fi – literką φ.

A ryba po grecku to ψάρι.

No i teraz samo gęste, czyli jak się ma jedno do drugiego.

A ma się w ogóle? Przecież obydwie liczby są niewymierne, jedna jest oparta na właściwości okręgu, druga – odcinka. Ni w kij ni w oko.

A jednak…

\(\displaystyle\pi = \frac{5}{\phi} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\phi}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\phi}}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\phi}}}}}\ldots\)

Powyższe wyrażenie jest nieskończenie długie. Każdy dodatkowy człon mnożenia zwiększa nam precyzję wyniku; jeżeli przemnożymy przez siebie wszystkie takie wyrażenia (przy czym ostatnie będzie miało w mianowniku nieskończenie wiele pierwiastków zagnieżdżonych nieskończenie wiele razy), dostaniemy poprawny wynik.

Mówiłem, że proste 😉

Autor: xpil

Po czterdziestce. Żonaty. Dzieciaty. Komputerowiec. Krwiodawca. Emigrant. Rusofil. Lemofil. Sarkastyczny. Uparty. Mól książkowy. Ateista. Apolityczny. Nie oglądam TV. Uwielbiam matematykę. Walę prosto z mostu. Gram na paru instrumentach. Lubię planszówki. Słucham bluesa, poezji śpiewanej i kapel a’capella. || Kliknij tutaj po więcej szczegółów ||

Dodaj komentarz

4 komentarzy do "π i φ w jednym stały domu"

Powiadom o
avatar
Sortuj wg:   najnowszy | najstarszy | oceniany
Jaro
Gość

PI to taka liczba, że za co by się praktycznie nie wziął to się pojawi. Podobnie jak e.

Butter
Gość

jeśli chodzi o takie zależności, to podobno najbardziej elegancja zależność to:
e^iπ -1 =0