Kilka dni temu opublikowałem zagadkę o pięciorgu dzieci, w której średnia, mediana i dominanta ich wieku były sobie równe, a po urodzinach jednego z dzieci mediana i dominanta zmieniały się, ale nadal pozostawały równe. Czas na rozwiązanie.
Kluczowa obserwacja jest taka, że:
- aby jednocześnie zmieniły się mediana i dominanta, urodziny musi mieć dziecko „ze środka” rozkładu
- trzy środkowe elementy przed urodzinami muszą mieć postać: x, x, x+1, a po urodzinach: x, x+1, x+1.
Inaczej nie da się wymusić jednoczesnej zmiany mediany i dominanty po pojedynczych urodzinach.
Dodatkowo:
- średnia musi być równa medianie, więc suma wieku dzieci musi wynosić 5 * mediana
- wiek traktujemy jako liczbę naturalną z zakresu 1–9 (a czemu nie 0-9? hmmm)
- zakładamy pojedynczą dominantę (co wynika bardziej z gramatyki języka zagadki niż z czegokolwiek innego, można się pokłócić).
To mocno zawęża przestrzeń rozwiązań.
Przy powyższych założeniach istnieje dokładnie sześć poprawnych konfiguracji początkowych:
(1, 4, 4, 5, 6) (1, 5, 5, 6, 8) (2, 5, 5, 6, 7) (2, 6, 6, 7, 9) (3, 6, 6, 7, 8) (4, 7, 7, 8, 9)
W każdym z tych przypadków:
- średnia = mediana = dominanta przed urodzinami,
- po urodzinach jednego z dzieci zarówno mediana, jak i dominanta rosną o 1 i nadal są sobie równe.
Kilku Czytelników słusznie zauważyło, że treść zagadki dopuszcza różne interpretacje:
- można było dopuścić wiek 0,
- można było uznać istnienie wielu (a konkretnie dwóch) dominant.
Rozwiązania podane powyżej zakładają - jak już nadmieniłem - zakres 1–9 i jedną dominantę. Odpowiedzi oparte na innych założeniach można uznać za poprawne (w obrębie przyjętej interpretacji).
Pierwsze poprawne rozwiązanie (przy założeniach: 1–9, pojedyncza dominanta) nadesłał rdrozd. Gratuluję!
Łącznie nadeszło sześć odpowiedzi od pięciu Czytelników:
- Cichy Fragles – bardzo solidna analiza, uwzględniająca wiek 0, przesunięcia całych układów i przypadki z dwiema dominantami.
- Butter (pierwsze podejście) – kompletne przeszukanie przestrzeni rozwiązań przy nieco zbyt szerokich założeniach; nie zaliczam. Nb. odpowiedź wygląda jak efekt skryptu w Pythonie, chętnie zobaczę szczegóły.
- rdrozd – pierwsze trafienie dokładnie w założony wariant zagadki, z krótkim i czystym uzasadnieniem.
- rozie – trafna obserwacja o przypadkach trywialnych i wielodominantowych; dobra analiza granic zadania.
- Butter (drugie podejście) – precyzyjne wylistowanie przypadków wraz z symulacją „po urodzinach”.
- Rzast – poprawny tok rozumowania oparty na relacji mediany, średniej i sumy skrajnych elementów.
Zdążyłem wysłać chyba w ostatniej chwili 🙂
Jestem ostatnio tak zabiegany, że w sumie zapomniałem o tej zagadce, twoje zgłoszenie mi przypomniało 🙂