Pierwsze przyrostkowe + bonus

https://xpil.eu/4cs 📋

W poprzednim wpisie opowiedziałem o liczbach pierwszych, które pozostają pierwszymi jeśli odcinać od nich cyfry od lewej strony.

A co jeżeli spróbujemy tego samego tricku od prawej?

Weźmy na przykład liczbę 31379. Jest to liczba pierwsza, podobnie jak 3137, 313, 31 oraz 3.

Intuicyjnie można wyczuć, że takich liczb będzie o wiele mniej, niż gdyby cyfry odrzucać od lewej strony - głównie dlatego, że jesteśmy ograniczeni wyłącznie do cyfr 1, 3, 7, 9 (z wyjątkiem pierwszej cyfry, która może być też dwójką lub piątką).

Ponieważ ograniczenie jest mocniejsze, to również zbiór takich liczb jest o wiele mniejszy. Jest ich zaledwie 83, z czego największa ma "tylko" osiem cyfr: 73939133. Pozostałe ośmiocyfrowe to: 23399339, 29399999, 37337999, 59393339.

Podobnie jak poprzednim razem, tu również łatwo można sprawdzić, że nie ma większej takiej liczby poprzez próbę dopisania na końcu każdej z powyższych ośmiocyfrowych liczb kolejnej cyfry - zawsze dostaniemy liczbę złożoną.

A czy są takie liczby pierwsze, które są jednocześnie przedrostkowe oraz przyrostkowe? A więc takie, że można im obrzynać cyferki albo z lewej, albo z prawej i zawsze dostaniemy liczbę pierwszą?

Są! Aczkolwiek jest ich tylko piętnaście, z czego największa to 739397.

Najciekawsze jednak ciągle przed nami: wyobraźmy sobie teraz, że zamiast obcinać lewe lub prawe cyfry, będziemy obcinać lewe i prawe równocześnie.

I tu zaczyna się robić interesująco.

Prostym przykładem jest liczba 1 825 711: obcinamy dwie skrajne cyfry, w wyniku dostajemy 82 571 - dalej 257 i na końcu 5. Wszystkie są liczbami pierwszymi.

Takie liczby nazywają się po angielsku left-and-right-truncatable primes i jest ich, bagatela, prawie miliard (920 milionów z hakiem).

Dzielą się one na dwie główne grupy: z parzystą oraz nieparzystą liczbą cyfr.

Największa taka liczba z nieparzystą liczbą cyfr ma ich 97 i jest to: 7 228 828 176 786 792 552 781 668 926 755 667 258 635 743 361 825 711 373 791 931 117 197 999 133 917 737 137 399 993 737 111 177

Natomiast największa taka liczba z parzystą liczbą cyfr ma ich aż 104 i jest to: 91 617 596 742 869 619 884 432 721 391 145 374 777 686 825 634 291 523 771 171 391 111 313 737 919 133 977 331 737 137 933 773 713 713 973

Nudne, prawda?

https://xpil.eu/4cs 📋