Dla łatwiejszego rozeznania ponazywajmy karty kolejnymi literami alfabetu: A,B,C,D,E. A to karta z faktyczną ceną auta, B-E to karty z cenami zawyżonymi, poustawiane rosnąco co 1000.
Większość ludzi po usłyszeniu tej zagadki odruchowo odpowiada "Wziąłbym pierwszą odkrytą kartę i już, bo mogę zapłacić dużo więcej".
Strategia taka dałaby oczekiwaną kwotę nadpłaty równą 2000, bo tyle wynosi średnia nadpłata z pięciu kart. Jednak jeżeli dobrze się zastanowić, widać że odkrycie dwóch pierwszych kart daje nam całkiem sporo informacji, które możemy wykorzystać do zmniejszenia owych 2000. Zatem opieramy się pokusie zapłacenia kwoty z karty numer 1 i prosimy sprzedawcę o odkrycie drugiej karty. I teraz w zależności od tego ile wynosi różnica (są cztery możliwości), rozgrywamy ciąg dalszy:
- Jeżeli różnica wynosi 4000 to wiemy na pewno, że dwie pierwsze karty to A i E. Jeżeli A pojawiła się jako druga, co zdarzy się w jednym przypadku na 20, akceptujemy ją (i nic nie przepłacamy). Jeżeli jako druga pojawiła się E (również 1/20), czekamy na B i przepłacamy 1000. Średnio przepłacimy tu 500.
- Jeżeli różnica wynosi 3000, to znaczy że mamy przed sobą A-D albo B-E (w tej bądź odwróconej kolejności). Strategia w tej sytuacji polega na poczekaniu na kartę nie większą niż o 1000 wyższą od niższej z dwóch prezentowanych. Szczegółowo wygląda to tak:
- Jeżeli widzimy A-D, to prędzej czy później trafimy na B, która jest o 1000 większa od A.
- Jeżeli widzimy B-E, to prędzej czy później trafimy na A albo C (1000 mniej lub 1000 więcej od B), każda z nich z 50% szansy, bo wybieramy pierwszą, która się pojawi. Po uśrednieniu tych dwóch wariantów wychodzi, że przepłacimy 1000, a układ A-E lub B-D pojawi się raz na 10 rozdań.
- Jeżeli widzimy D-A lub E-B (co przytrafi się również raz na 10 rozdań), po prostu wybieramy tę o niższym nominale - w połowie przypadków przepłacimy 1000, a w połowie - nic. Średnio przepłacimy tu więc 500.
- Jeżeli różnica wynosi 2000, mamy A-C, B-D lub C-E. W takim razie pozostałe trzy karty to BDE, ACE lub ABD (w dowolnej kolejności). Tu trzeba grać następująco:
- Jeżeli zobaczymy kartę niższą od obydwu pierwszych, akceptujemy ją
- Jeżeli po wyłożeniu czterech kart czwarta karta jest pomiędzy pierwszymi dwoma, akceptujemy ją (na przykład dwie pierwsze były A-C, czwarta jest B - akceptujemy).
- Jeżeli nie zaszły żadne z dwóch powyższych sytuacji, czekamy do końca.
- W tym układzie przepłacimy średnio 1000 x (8/9), a pojawi się on średnio trzy razy na dziesięć rozdań.
- Ostatni wariant to różnica równa 1000, czyli A-B, B-C, C-D lub D-E:
- Jeżeli wśród kolejnych kart zobaczymy niższą od obydwu pierwszych, akceptujemy
- Jeżeli wśród wyłożonych na stół kart są zarówno A jak i E, czekamy na najniższą możliwą (spośród jeszcze nieodkrytych)
- W przeciwnym razie czekamy do końca.
- To jest najcięższy układ - średnio przepłacamy tutaj 1000 x (13/12), a pojawi się on w czterech rozdaniach na dziesięć.
Jeżeli posumujemy teraz cztery powyższe warianty, wyjdzie nam:
(1/20) x 0 + (1/20) x 1000 + (1/10) x 1000 + (1/10) x 500 + (3/10) x (8/9) x 1000 + (4/10) x (13/12) x 1000 = 900.
Końcem końców okazało się, że przepłacimy średnio o 900 - o wiele lepiej, niż gdybyśmy po prostu zaakceptowali pierwszą kartę!
Robisz dodatkowe założenie, że klient wie, jakie są różnice w cenach na kartkach. Jeżeli wlosuje na początku cenę C, a potem A, to nie wie czy ceny rosną co 2000, co 1000 czy co 500.
No wie, przecież wiadomo, że wie. Kurdę, zapomniałem to dopisać?
Nie wprost. Nie było napisane, że klient zna cenę prawidłową – A (zresztą nie byłoby to w interesie sprzedawcy). Jeżeli nie zna, to moja strategia jest wciąż najlepsza.
Klient nie zna faktycznej ceny, ale wie ile jest wszystkich kart oraz że kolejne kwoty rosną co 1000.
Skąd wie? Ja to zrozumiałem tak, że klient przychodzi, sprzedawca proponuje grę: „5 kartek, na każdej inna cena, bierzesz za tyle albo odkrywamy następną, nie ma powrotu”, odsłania pierwszą kartę i klient decyduje co dalej. Klient nie widzi, co sprzedawca pisał, nie zna różnicy pomiędzy cenami, wie, że jest jakaś minimalna cena i na każdej kartce inna. I tak jak napisałem w pierwszym komentarzu, jeśli pojawi się dwie ceny różniące się o 2000, to nie wie, o ile się różnią: czy o 2000, czy o 1000, a może o 500 – bo i tak może być.
Dodatkowo: jeśli pojawią się wartości A, E, C to „zwykły” człowiek utwierdzi się w przekonaniu, że ceny rosną co 2000.
Bo sprzedawca mówi klientowi na dzień dobry, że ceny są poustawiane co 1000. Przecież to oczywiste 🙂
Zagadka jest średnia, ponieważ zakłada, że kupujący zna różnicę między ceną najwyższą a najniższą. To znacznie ułatwia sprawę.