Żonglujemy nieskończonościami

Dziś raz jeszcze pobawimy się matematyką. Nie będziemy jednak żonglować setką kilogramów marsjańskich kartofli, które są tworem wymyślonym, nieprawdziwym i bzdurnym – nie. Zamiast tego zajmiemy się nieskończonościami, które są tworami wymyślonymi, nieprawdziwymi, bzdurnymi oraz kompletnie abstrakcyjnymi.

Zaprzęgniemy do tej żonglerki zwykłą, ludzką logikę, w wyniku czego wyjdzie nam całkiem ludzki, logiczny wynik.

Uwaga: dalsza lektura tego wpisu wymaga umiejętności dodawania liczb całkowitych w zakresie 1-10, jak również dzielenia przez cztery…

Lecimy.

Wyobraźmy sobie ciąg arytmetyczny o elemencie początkowym równym jeden oraz różnicy równej jeden.

O, taki:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Proste?

Na razie proste.

Ile wynosi suma wszystkich wyrazów tego ciągu?

Na pierwszy rzut oka wydawać by się mogło, że nieskończoność.

I dobrze by się mogło wydawać, bo to jest faktycznie nieskończoność. Póki co – żadnych pułapek. Widownia zaczyna ziewać.

No to teraz zróbmy mały hokus-pokus i do każdego elementu naszego ciągu, stojącego na parzystej pozycji, dodajmy z przodu minus:

1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, …

Pytanie pozostaje bez zmian: ile wynosi suma wszystkich wyrazów naszego nowego ciągu?

Widownia, lekko już pochrapująca, powinna teraz nadstawić ucha. Albowiem pytanie o sumę wszystkich elementów takiego ciągu jest kompletnie pozbawione sensu. Przecież sumujemy na przemian wyrazy ujemne oraz dodatnie, o coraz większych wartościach (absolutnych, gwoli ścisłości). A więc kolejne sumy cząstkowe wynoszą: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, … i tak dalej, aż do plus-minus nieskończoności. Nie da się więc zsumować takiego szeregu, prawda?

Niby prawda.

Aczkolwiek…

Weźmy sobie cztery identyczne kopie naszego dziwnego ciągu, o tak:

1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, …
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, …
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, …
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, …

Przesuńmy je odrobinę względem siebie:

1, -2,  3, -4,  5, -6,  7, -8, ...
    1, -2,  3, -4,  5, -6,  7, -8, ...
    1, -2,  3, -4,  5, -6,  7, -8, ...
        1, -2,  3, -4,  5, -6,  7, -8, ...

I teraz spróbujmy je do siebie dodać, w pionie:

1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …

Zgadza się?

Wychodzi na to, że po dodaniu czterech identycznych kopii naszego rozbieżnego ciągu, w wyniku dostajemy jedynkę.

Skoro suma czterech identycznych egzemplarzy wynosi jeden, to znaczy, że pojedynczy ciąg sumuje się do jednej czwartej, c’nie?

I to jest właśnie poprawna odpowiedź, a nie żadne tam plus czy minus nieskończoności.

Na zakończenie dodam jeszcze, że powyższe zagadnienie, chociaż opisane lekko, prosto i przyjemnie, jest tylko wierzchołkiem góry lodowej. A pod powierzchnią pływają rekiny różnych groźnych gatunków, na przykład funkcja eta Dirichleta (rym i rytm niezamierzony) czy też funkcja zeta Riemanna. Ale o tym napiszę może w innym wcieleniu…

Autor: xpil

Po czterdziestce. Żonaty. Dzieciaty. Komputerowiec. Krwiodawca. Emigrant. Rusofil. Lemofil. Sarkastyczny. Uparty. Mól książkowy. Ateista. Apolityczny. Nie oglądam TV. Uwielbiam matematykę. Walę prosto z mostu. Gram na paru instrumentach. Lubię planszówki. Słucham bluesa, poezji śpiewanej i kapel a'capella. || Kliknij tutaj po więcej szczegółów ||

Dodaj komentarz

4 komentarzy do "Żonglujemy nieskończonościami"

Powiadom o
avatar
Sortuj wg:   najnowszy | najstarszy | oceniany
Tomasz Malkiewicz
Gość

No i wyprostowaly mi sie zwoje…. no bo jak? Jak to mozliwe, ze suma liczb calkowitych w pojedynczym ciagu daje ulamek?

Jaro
Gość

Panie, nie takie rzeczy się w PRLu działy….

Tomasz Malkiewicz
Gość

No wlasnie… dlatego mi sie wyprostowaly

wpDiscuz