Pierwsze i 24

https://xpil.eu/7DGD3

Udowodnimy sobie dzisiaj pewne do艣膰 proste (aczkolwiek ca艂kiem na pierwszy rzut oka nieoczywiste) twierdzenie matematyczne dotycz膮ce liczb pierwszych.

Poka偶emy mianowicie, 偶e je偶eli we藕miemy dowoln膮 liczb臋 pierwsz膮 wi臋ksz膮 od 3, podniesiemy j膮 do kwadratu, a od wyniku odejmiemy jedynk臋, dostaniemy liczb臋 podzieln膮 przez 24.

Zaczniemy od lematu.

Lemat, jak wszyscy pami臋taj膮 ze szko艂y 艣redniej, to inaczej twierdzenie pomocnicze.

Lemat m贸wi, 偶e ka偶d膮 liczb臋 pierwsz膮 x wi臋ksz膮 od 3 da si臋 przedstawi膰 w postaci \(6n \pm 1\), gdzie n jest liczb膮 ca艂kowit膮 dodatni膮.

Dow贸d lematu:

We藕my liczb臋 x i podzielmy j膮 (z reszt膮) przez sze艣膰. W wyniku dostaniemy jak膮艣 liczb臋 oraz jak膮艣 reszt臋. Owa reszta b臋dzie r贸wna 0, 1, 2, 3, 4 lub 5.

Czyli: \(x = 6n + r\), gdzie x to nasza sprawdzana liczba, n to jaka艣 liczba naturalna, a r to reszta z dzielenia x przez 6.

Sprawd藕my teraz r贸偶ne warianty r:

Je偶eli r = 0, 2 lub 4, w贸wczas liczba x jest parzysta (a wi臋c nie jest pierwsza)

Je偶eli r = 3, w贸wczas x dzieli si臋 przez 3 (czyli te偶 nie jest pierwsza).

A wi臋c 偶eby x by艂o liczb膮 pierwsz膮, r musi wynosi膰 albo 1, albo 5.

Jednak \(6n + 5\) to nic innego jak \(6(n+1) - 1\). A wi臋c liczb臋, kt贸ra przy dzieleniu przez sze艣膰 daje reszt臋 pi臋膰, da si臋 przedstawi膰 w postaci \(6n \pm 1\), gdzie n jest liczb膮 naturaln膮.

Udowodniwszy nasz lemat, przechodzimy teraz do dowodu twierdzenia g艂贸wnego:

Bierzemy nasz膮 liczb臋 pierwsz膮 postaci \(6n \pm 1\) i podnosimy do kwadratu:

\((6n \pm 1)^2 = 36n^2 \pm 12n + 1\)

Nast臋pnie, zgodnie z tre艣ci膮 twierdzenia, odejmujemy jedynk臋. Zostaje nam:

\(36n^2 \pm 12n\)

Wyci膮gamy 12n przed nawias:

\(12n(3n \pm 1)\)

I teraz tak: albo n jest parzyste, albo \((3n \pm 1)\) jest parzyste. A wi臋c \(n(3n \pm 1)\) jest na pewno parzyste. Dwana艣cie przemno偶one przez liczb臋 parzyst膮 dzieli si臋 przez 24.

Proste?

No pewnie, 偶e proste...

Nudne?

Bardzo nudne. Musz臋 trzyma膰 poziom, je偶eli chc臋 uzyska膰 zezwolenie FDA na sprzeda偶 wpis贸w w charakterze 艣rodka nasennego 馃槈

https://xpil.eu/7DGD3

Leave a Comment

Komentarze mile widziane.

Je偶eli chcesz do komentarza wstawi膰 kod, u偶yj sk艂adni:
[code]
tutaj wstaw sw贸j kod
[/code]

Je偶eli zrobisz liter贸wk臋 lub zmienisz zdanie, mo偶esz edytowa膰 komentarz po jego zatwierdzeniu.