Całkiem niedawno dokonano interesującego matematycznego odkrycia. Odkrycia, którego początki ciągną się od roku 1918. Odkrycia, które może nie wstrząśnie światem kafelkarzy, ale na pewno zostanie przez nich zauważone.
Ale o ssso chozzzzzi?
Chozzzzi o wypełnianie płaszczyzny identycznymi pięciokątami.
"Wypełnienie płaszczyzny" (po naszemu: plane tiling) to nic innego jak pokrycie płaszczyzny wielokątami w taki sposób, żeby wielokąty te nigdzie na siebie nie nachodziły, ale też żeby między nimi nie pozostawić żadnych "dziur". Najprostsze wypełnienie płaszczyzny to oczywiście za pomocą trójkątów równobocznych, kwadratów lub sześciokątów.
Jeśli chodzi o trójkąty, równoboczność nie jest obowiązkowa . Okazuje się bowiem, że płaszczyznę można szczelnie wypełnić dowolnym trójkątem, o ile tylko dysponujemy nieskończenie wieloma jego kopiami. Wynika to z prostego faktu, że dwie kopie tego samego trójkąta można zetknąć bokami o tej samej długości, co w efekcie da równoległobok. A równoległoboki można łączyć w nieskończonej długości pasy. Ułożenie takich pasów obok siebie pokryje całą płaszczyznę.
W przypadku czworokątów - co może być zaskoczeniem dla niektórych Czytelników - sprawa ma się całkiem podobnie. Nieskończenie wiele kopii dowolnego czworokąta wypełnia płaszczyznę szczelnie.
Oto przykłady:
Jeżeli chodzi o sześciokąty, mamy cztery warianty: jeden z sześciokątów foremnych (czyli tradycyjny plaster miodu) oraz trzy sześciokąty nieforemne:
Udowodniono, że innych sześciokątów pokrywających płaszczyznę nie ma.
Oczywiście mówimy cały czas o figurach identycznych, bo gdyby dopuścić różne kształty sześciokątów, oczywiście rozwiązań byłoby wówczas nieskończenie wiele.
Udowodniono też, że sześć to największa liczba boków figury płaskiej, którą można pokryć płaszczyznę. Innymi słowy nie istnieje siedmio-, ośmio- ani żaden inny N-kąt pokrywający, dla N>6.
No a co z pięciokątami?
I tu docieramy do sedna sprawy. Pięciokąty okazują się być najciekawsze w tej kwestii. Mianowicie nie wiadomo ile jest kształtów pięciokątów pokrywających płaszczyznę.
Od roku 1918, kiedy to zainteresowano się tematem po raz pierwszy (i odkryto pięć takich pięciokątów) aż do mniej więcej miesiąca temu, znano czternaście różnych kształtów pięciokątnych, pokrywających płaszczyznę.
Mniej więcej miesiąc temu odkryto piętnasty taki kształt. Komplecik wszystkich piętnastu poniżej:
(ten nowo odkryty to ten w dolnym, prawym rogu)
A teraz najciekawsze: nie udało się dotychczas ustalić, czy liczba pięciokątów pokrywających płaszczyznę jest skończona, czy nieskończona, a jeżeli jest skończona, to ile ich właściwie jest. Nie wiadomo, czy ta piętnastka to już koniec, czy dopiero początek.
A kafelkarze już zacierają ręce...
Wenę do dzisiejszego wpisu znalazłem tutaj: http://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/aug/10/attack-on-the-pentagon-results-in-discovery-of-new-mathematical-tile
Dobranoc.
też od razu przyszli mi do głowy kafelkarze. Ale nie sądzę, żeby ich to ucieszyło….
gdybym to wiedział przed remontem… to teraz mam skuwać te nudne prostokąty?
Skuwać, jak najbardziej! Dzień w tę czy we w tę nie zrobi ci najmniejszej różnicy…