Trójki diofantyczne

https://xpil.eu/X8x 📋

Czy da się znaleźć takie trzy liczby wymierne a, b oraz c, że a²+1, b²+1, c²+1, ab+1, ac+1 oraz bc+1 będą kwadratami liczb wymiernych?

Zanim odpowiemy na to pytanie, odpowiedzmy sobie najpierw na inne:

Po co szukać takich trójek?

Głupie pytanie. Bo się da!

No dobra, a więc są takie trójki liczb, czy nie ma?

Okazuje się, że są. Na przykład:
\((\frac{1976}{5607}, \frac{3780}{1691}, \frac{14596}{1197})\)

albo:

\((\frac{140}{51}, \frac{187}{84}, \frac{427}{1836})\)

Takich trójek jest nieskończenie wiele i są na ich wyszukiwanie gotowe wzory, których tu jednak nie będę zapodawał, z obawy przed przedawkowaniem elementu nasennego.

Takie trójki nazywają się mocnymi trójkami diofantycznymi.

Gdyby usunąć z warunków kwadraty (czyli pozostawić ab+1, ac+1 oraz bc+1), trójki przestają być "mocne" i nazywają się po prostu "trójki diofantyczne".

A co z czwórkami? Czy istnieją mocne czwórki diofantyczne?

Okazuje się, że nie wiadomo. Wiemy, że istnieją prawie-mocne czwórki diofantyczne, czyli takie, gdzie zamiast dziesięciu warunków (cztery kwadraty i sześć kombinacji każdy-z-każdym) spełnionych jest "tylko" dziewięć. Przykład takiej czwórki:

\((\frac{140}{51}, \frac{187}{84}, \frac{427}{1836}, \frac{7200}{20111})\)

Czujny Czytelnik być może zauważy, że trzy pierwsze elementy powyższej czwórki są identyczne z jedną z poprzednich trójek. Okazuje się bowiem, że każdą trójkę diofantyczną (niekoniecznie silną) można przekształcić w czwórkę za pomocą gotowego wzoru, którego jednak litościwie oszczędzę.

Istnienia silnych czwórek diofantycznych nie udało się jak na razie udowodnić (ani obalić).

A co, jeżeli zamiast ułamków, będziemy szukać rozwiązań wśród liczb całkowitych?

Najbardziej znaną czwórką diofantyczną złożoną z samych liczb całkowitych jest: {1, 3, 8, 120}.

A piątki?

Nie wiadomo. Istnieje hipoteza uznawana ogólnie za prawdziwą, że nie ma piątek diofantycznych całkowitoliczbowych - ale udowodnić jej (ani obalić) się nie udało...

Największa znana krotność encji diofantycznych na dzień dzisiejszy wynosi sześć. Innymi słowy, znamy diofantyczne szóstki liczb wymiernych. Wiadomo, że tej krotności nie da się zwiększać bez końca, jednak z drugiej strony dokładna górna granica nie jest znana. Być może jest nią właśnie 6...

Któż to wie?

A propos szóstki, to pomijając już fakt, że jest to moja ulubiona liczba, wczoraj średni czas otwarcia strony na blogu xpil.eu wyniósł 666 milisekund. Diabelnie dobry wynik 😉

https://xpil.eu/X8x 📋