Czas na jeszcze jedno rozwiązanie zagadki o rzucaniu stuścienną kostką. Tym razem zabierzemy się do rzeczy porządnie i zamiast symulować grę po prostu policzymy sobie trochę prawdopodobieństw.
Będzie trudniej niż przy zagadce z tortem i świecami, ale tylko trochę.
Najpierw wprowadzimy sobie jedno oznaczenie, które nieco uprości nam rozumowanie. Mianowicie:
Przez TX oznaczamy oczekiwaną liczbę rzutów od początku do końca gry pod warunkiem, że w pierwszym rzucie wypadło X oczek.
Zobaczmy teraz ile wynosi T100:
T100 = 1 + 1/100 T100
Czemu tak?
Jedynka, bo pierwszy rzut (ten, w którym wypadło 100) już wykonaliśmy; gra ZAWSZE będzie miała pierwszy rzut.
A jedna setna, bo prawdopodobieństwo wyrzucenia 100 w drugim rzucie właśnie tyle wynosi (przypominam, gra kończy się, kiedy w kolejnym rzucie wypadnie MNIEJ oczek, niż w poprzednim - a więc po wyrzuceniu 100 w pierwszym rzucie jedynym sposobem na kontynuowanie gry jest wyrzucanie kolejnych setek)
Po uproszczeniu tej równości okazuje się, że T100 = 100/99
Sprawdźmy jak sytuacja wygląda dla gry, w której w pierwszym rzucie wypadło 99 oczek:
T99 = 1 + 1/100 T99 + 1/100 T100 = 1 + 1/100 T99 + 1/100 * 100/99 = 1 + 1/100 T99 + 1/99
Po uproszczeniu:
99/100 T99 = 100/99 ==> T99 = 100/99 * 100/99 = 100/99 * T100
Podobne rozumowanie pokaże nam, że T98 = 100/99 * T99 i tak dalej. Ogólnie rzecz biorąc dla dowolnego N naturalnego mniejszego od 101 zachodzi:
TN-1 = 100/99 * TN
Jest to klasyczny skończony szereg geometryczny o ilorazie 100/99.
Żeby udzielić odpowiedzi na postawione w zagadce pytanie, musimy teraz policzyć oczekiwane ilości rzutów dla każdego N od jedynki do setki (bo przecież nie wiemy ile wypadnie w pierwszym rzucie) a następnie je uśrednić (bo szukamy wartości oczekiwanej) czyli podzielić ich sumę przez 100:
1 + (1/100)(100/99 + (100/99)2 + ... + (100/99)100)
Ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego powyższe wyrażenie możemy zapisać jako:
1 + (1/100)((100/99)101 − 100/99)/(100/99 − 1) co po dwóch prostych przekształceniach daje nam:
(100/99)100
Zaglądamy sobie teraz na https://www.wolframalpha.com/input/?i=(100%2F99)%5E100 i widzimy, że (100/99)100 wynosi w przybliżeniu 2.73199902
Tyle więc wynosi spodziewana średnia kwota wygranej, przy odpowiednio dużej liczbie gier oczywiście.
Ogólnie dla kostki X-ściennej oczekiwana wygrana wyniesie (X/(X-1))X
Dla kostki 50-ściennej:
2.7459727
Dla zwykłej, sześciennej kostki:
2.986
Jak widać czym mniej ścianek, tym większa oczekiwana wartość wygranej. W wersji ekstremalnej możemy rzucać monetą (która jest niczym innym jak "kostką" o dwóch ściankach) z jedynką i dwójką odpowiednio na awersie i rewersie - wówczas spodziewana wygrana wyniesie 4 i jest to najbardziej korzystny wynik spośród wszystkich możliwych. Nie licząc oczywiście kostki Zen, która ma z tylko jedną ściankę, i która szybko doprowadziłaby prowadzącego grę do bankructwa 🙂
Jeżeli chcesz do komentarza wstawić kod, użyj składni:
[code]
tutaj wstaw swój kod
[/code]
Jeżeli zrobisz literówkę lub zmienisz zdanie, możesz edytować komentarz po jego zatwierdzeniu.